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J. s ом OFF, 



(l'un paraboloïde qui aura avec la surface donnée au point (|, y), un contact du second 

 ordre, c,-à-d. qui sera osculateur. Par conséquent la courbure de ce paraboloïde au point 

 de contact appartient à la surface donnée. Cette courbure, conformément à la définition de 

 Gauss, a pour mesure le rapport de deux aires infiniment petites, dont l'une est égale à 

 une portion d'une surface sphérique, de rayon égal à Гипйё, le centre de laquelle peut être 

 pris au point (a;i= 0, «/ = 0, г = 1); cette portion ayant pour contour l'intersection de la 

 sphère avec un cône, dont le sommet est au centre de la sphère et la base une courbe 

 fermée, tracée par le point (p, q) correspondant au point (ж, y) pris dans le voisinage de 

 l'origine des coordonnées; l'autre aire appartient à une portion de la surface du paraboloïde 

 osculateur, et qui a pour contour une courbe décrite par le point [œ, ?/, z) dont la projection 

 {x,y)sur le р1ап(жг/) trace une courbe homographique avec celle qui est tracée par le point 

 [p, î); les coordonnées des points correspondants de ces deux courbes ayant les relations (4). 

 Si l'on désigne par « la projection sur le plan {xy) de la seconde aire, le produit 



± {rt S^) (ù 



représentera l'aire de la base d'un cône infiniment mince, qui intercepte sur la sphère la 

 première aire. Soit de plus p la distance du centre de la sphère au point {p,q); on aura 



par conséquent ^ sera le cosinus de l'angle que fait la normale au point (|,yi,Ç) avec l'axe 

 des 2. Le produit po représentera donc l'aire de la portion du paraboloïde, et 



I {rt — «2) (o 



p 



celle d'une portion sphérique de rayon ç intercepté par le cône dont la base est 

 ± {rt — s) о ; par conséquent la portion Correspondante sur la sphère de rayon égale à 



Vunité sera 



j [rt — S^jtû 



— ~7 • 



Ainsi la mesure de la courbure est 



' • ^4 



(rt — *2) 



f8) 



Ce qui est la formule de Gauss (Disquis. Л^ІІ). 



Si l'on prend pour l'axe des z la normale au point (^, i), t) , on aura p = o, q = o, et 



z = \{rx^ 2sxy -+- ty^) 



pour l'équation du paraboloïde osculateur. La mesure de la courbure (8) se réduit alors à 



