Mémoire sur un cas particulier de l'homographie plane. 



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Enfin si l'on prend pour les axes des x et des y les tangentes aux sections normales princi- 

 pales, c.-à-d. aux sections de la plus petite et de la plus grande des courbures, on aura 

 1 1 



s = o, г = д, «==ti-, où /î et г sont les rayons des courbures principales. L'équa- 

 tion du paraboloïde devient alors 



et 



1 



2 \R 



k— ^ 

 — RI' 



(9) 



Ainsi comme Га trouvé Gauss, la courbure dhme surface en un point donné est égale aux pro- 

 duits des ourbures principales des sections normales. 

 Pour une valeur constante de z l'équation (9) 



représente Vindicatrice de Dupin. C'est une ellipse ou une hyperbole dont les demi-axes 

 sont en raison directe avec les racines carrées des rayons de courbure principaux. Pour 

 transformer l'indicatrice homographiquement au moyen des relations (7), qui deviennent 



on devra éliminer de l'équation (9) les valeurs de ж et j/; ce qui donne 



z=l{Iip'±Tq'). 



Ainsi, la transformée homo graphique de Vindicatrice est une courbe du second degré de la même 

 espèce que Vindicatrice et qui a pour demi-axes les valeurs 



qui sont proportionelles aux racines carrées des courbures principales. 



Quand l'indicatrice est une ellipse, son aire totale, aussi bien que celle de sa projec- 

 tion sur le plan (xy), a pour valeur 



2-Kz VRT, 



et l'aire de sa transformée sera 



2tc2 



Vrt' 



En prenant le rapport de ces deux aires, on trouvera 



P^^:2KzyRT = ^ 



ce qui est la mesure de la courbure. 



