8. J. SOMOFF, 



III. Expression par une seule quadrature dfune portion qaelconque de la surface d^un paraboloïde. 

 Soit un paraboloïde 



z = 1 {rx^ -+- sxy -+- txf) -+- аж -H- -b y. 



Une portion S de sa surface est généralement représentée par l'intégrale double 



S=ffV\^p'-^q\dxdy, 



dont les limites sont les mêmes que pour l'intégrale 



ffdxdy (10) 



qui représente l'aire de la projection de S sur le plan {xy). Si l'on change les variables x 

 et г/ en ;) et 7 au moyen des relations 



p = rx Sy OL 



q — SX -ь- ty -+- 



l'expression de S se réduira à 



^=êh4fy'^-^P"-^4'dpdq, (11) 



l'intégrale double ayant les mêmes limites que 



Ifdpdq (12) 



c.-à-d. que l'aire de la figure homographique a celle de l'aire (10) 



Si l'on substitue kp q des coordonnées polaires м et w, prises dans le plan {xy) et 

 qui ont le pôle au point [p = o^q — o), le rayon vecteur étant и et l'argument angulaire w, 

 on aura 



^ = ffVÏ^' ^dudv = ± рЦ^^ф^ cos фгіа (13) 



où cos 4» est l'angle de la normale en un point quelconque du contour de l'aire et du rayon 

 vecteur и mené en ce point, et a la longueur du contour à partir d'un point fixe. Ainsi, 

 pour calculer S on n'aura qu'une seule quadrature, étendue le long du périmètre de l'aire 

 ffdp dq. 



Si la droite AC fait partie du contour, la partie de la quadrature relative à cette droite, 

 se réduit toujours aux fonctions logarithmiques ou circulaires. Pour faire cette réduc- 



