Mémoire sur un cas particulier de l'homographie plane. " 9 



tien abaissons du pole 0 une perpendiculaire m sur la droite AC. qui se trouvera ainsi di- 

 visée en deux parties AB et CB; on calculera ensuite les valeurs de l'intégrale (13) relatives 

 à chacune de ces longueurs et on prendra la somme ou la différence. Si l'on prend l'ori- 

 gine de a au pied de la perpendiculaire m, on aura à calculer des intégrales de la forme 



- 1] 



cos ^do. 



Or 



= -H m", cos ф = 



ce qui réduit l'intégrale à 



m 



- 11 



da 



ma i/ о 



m 



1 



m (3 -+- nt2) 



log 



/m^-H 1 



arctg 



=)-arctg(^). 



Ainsi, quand le contour d'une portion S de la surface d'un paraboloïde a pour projection 

 sur un plan perpendiculaire à l'axe de la surface un polygone rectiligne, cette surface 

 est carrable au moyen des fonctions logarithmiques et circulaires. 



Il suit de là que toute portion de la surface d'un paraboloïde hyperbolique, limitée 

 par quatre génératrices rectilignes, est carrable au moyen des fonctions logarithmiques et 

 circulaires. 



Nous ferons encore voir que toute portion de la surface d'un paraboloïde, limitée 

 par l'intersection du paraboloïde avec un plan non parallèle à l'axe, peut être exprimée 

 par une quadrature, qui est réductible aux fonctions elliptiques. Cette réduction peut se 

 faire par un procédé, employé par Gauss dans la solution du problème, que nous avons 

 cité dans l'introduction. 



un paraboloïde elliptique oùs > ( et 



z = ax -+- l^y -t- y (14) 



un plan non parallèle à l'axe de z. Après avoir éliminé z, on obtient l'équation 



rx"^ -I- ty'^ — 2ax — 2ßj/ — 2y = 0, 



de la projection sur le plan (xy) de l'intersection du paraboloïde avec le plan. 

 Cette courbe est une ellipse qui se transforme au moyen des relations: 



p = rx, q = ty 



Mémoires de l'Acad. Imp. des Sciences, Vllmc Série. 



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