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J. So M о FF, 



en une autre, dont l'équation est 



2ap 2ßg , 



— — = 0 



r t l 



ou 



« P о 



^ — 2y=o 



et qui devient 

 si l'on pose 



62 



1 =0 



2y 



(15) 

 (16) 



■(17) 



Ces valeurs sont les demi-axes de l'ellipse, et l'on a a > /* parce que l'on suppose r > <. 



Il est encore à remarquer que a et ß sont les coordonnées du centre de l'ellipse (16) 

 et que les directions des axes positifs de x et y peuvent être tellement choisies, que a et 

 ß seront positives. 



Cela posé, la portion finie de la surface du paraboloïde, limitée par la section plane 

 (14), sera exprimée par 



S 



1 



3r< 



[(1 



où l'on a 



tr=p'-i-(f, ?j cos le sin v = 7, 



l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs de l'angle v qui répondent aux points du 

 contour de l'ellipse (16). Quand y est positif, c.-à-d. quand le plan (14) coupe l'axe des z 

 positifs, le point (p = o, 7 — o), qui est le sommet de l'angle v, se trouve dans l'intérieur 

 de l'ellipse; car la première partie de l'équation (15) devient dans ce cas négative pour 

 p = 0 et q = 0. Il faut donc dans ce cas étendre l'intégrale de = о h v = 2т: c.-à d. 



2TC 



S — — 



^ — 3rf 



(І-нгі^) dv — :■ 



2tc 

 'dri' 



Quand 7 est négatif, le point {p = o, q = o) sera extérieur à l'ellipse, et l'on aura pour 

 chaque valeur de v deux valeurs positives de и que nous désignerons par 



et qui sont les racines de l'équation 



(гі cos V — a)- 



par rapport à u. 



M, et гі^ 



(и sin V — ß)2 , 



+- rr, 1 



62 



