Mémoire sur un cas particulier de l'homogiuphie plane. 



Posant jc = m, y = m\ z — m", on trouve a-' — 1, ~ 0, г' = 0, ce qui donne 



ф'^^^ [m, m', m") — 2 Am 

 ф'^^^, (m,m',m")= 2äw' 

 ф'^^^„ (m, m', m") = — 2 Am" 



Développant les dérivées partielles on aura les équations: 



(a' — A) m aam" = о 



[Ъ^ — A) ni -t- ß6»»" = 0 



15 



(28) 



aam 



(29) 



qui sont linéaires et homogènes par rapport à m, m', m". 



Éliminant ces valeurs on obtiendra une équation du 3" dégré par rapport à l'inconnue 

 A, que nous désignerons par 



le premier membre n'est autre chose que le déterminant 



a" — A, 0, aa 

 0, 6' — .^, ß6 



aa, 



(30) 



En développant cette expression on trouvera 



(«2 _ (^2 _ ^^2 _^ ß2 _^ 1 _ ß-' f2 ^^2 _ _ ^2 ^^1 ^^,2 _ I) ^ _ _ ( 3 1) 



On obtiendra de même des équations en В et C. Posant , // = z= on 



trouvera œ =<>. y = 1, ;' = o, ce qui réduit les équations (27) à 



ф',^ (>*. »t") = 2Bn 



ф'^, {n^n,n") = 2Bn \ (32) 



ф'^„ (n, n,' n") = — 2Bn 



et le résultat de l'élimination de h, n, n" sera 



Д [B) = 0. 



Enfin pour X = s, y = s', z = s'!, on aura д?' = o, y' = o, z — et par suite 



Ф', (.,.;/) = — 2 



фѴ (s,.<0 = — 2(^^'[ (33) 



ф' ,(s,5;/) = H-2c/ 



