16 J. SOMOFF, 



ce qui donne par l'élimination de s,.%s", l'équation 



■^{—C) = o. 



Ainsi les inconnues: A, B, — С sont les trois racines de l'équation 



Д(?і)=^ 0 (34) 



par rapport à u. Or l'on sait que ces racines sont toutes réelles. Mais on le verra encore 

 en séparant ces racines par la substitution à и dans le premier membre de l'équation (33) 

 des valeurs successives: 



— oo, 0, 6^, 0^. 

 Les résultats de cette substitution donneront la suite de signes: 



1 1- 



qui présentent trois variations; par conséquent l'équation A(î<) = o a: une racine néga- 

 tive, une racine positive entre 0 et 6^ et une racine positive entre et a^. 



La somme des équations (28) multipliées respectivement par ni.,m',m" donne 



cp (m, m' m") = 2 A 



On trouvera de même au moyen des équations (31) et (32) 



9 (h, n, n") — 2 ß et 9 (s, s,' a" ) = 2 С ; 



or 9(^, (/,s) étant positive pour tout système de valeurs réelles de x^y, s, il faut absolu- 

 ment que A^ B, С soient positives, ce qui exige que — С soit la racine négative de l'équa- 

 tion Д {h) = 0, 



Le choix des deux autres racines pour A et В est arbitraire. Nous supposerons que 

 A > B. 



Les valeurs de A, ß, С étant déterminées par la résolution de l'équation Д (г<) = о, il 

 restera à trouver les valeurs de: m,n,in',n, .... 



Désignant par Aj^ . le déterminant mineur de A que l'on formera en effaçant dans la 

 case (30) la ligne du rang к et la colonne du rang г, on aura A^ . = A. parce que A 

 est un déterminant symétrique. Par la propriété des équations linéaires homogènes on sa- 

 tisfait aux équation (28) en posant 



ou 



m m' 



II 



m 















\. 



\г 



/ rf 



m :m = 







^2,3 









^3,3 



