Mémoire sur un cas particulier de l'homographie plane. 19 



Or œ = z cos ф, ?/ = г sin ф 



;:'cos4', г/' = г'8Іпф; 



par conséquent 



d'où l'on tire 

 et 



dx^ -+- (hf — ds" -•- dcp^ 

 dx'^ -I- dij"^ — dz^ -H z''" (/ф^; 



C'est précisément la formule (35). 

 La valeur du dénominateur 



m 



Il I II • \ Il 

 г COS ф -+- n sin ф s 



а toujours le même signe que s", car on a l'identité 



(m cos Ф -H n sin Ф) H- {m sin ф — n cos ф) = m -+- n = s — i 



qui montre que la valeur de 



m" cos Ф H- ?i"sin Ф 



est toujours numériquement plus petite que celle de /; par conséquent le signe de s" ap- 

 partient à la somme 



m С08ф.-+-п slnф-^-s. 



Donc Ф et Ф croîtront ensemble, quand ±s" aura une valeur positive. Dans le cas con- 

 traire Ф diminue quand ф croît. 



Pour calculer ф au moyen de ф, Gauss a donné une formule très commode que l'on 

 trouve comme il suit: 



Posant Vs"'' — 1 = S, 



nous aurons en vertu des relations (22) et (26) 



it.2 2 '2 '/2 12 



z8 SX 4~ s y = (к" â) -1- m"x' H- n"z ) 

 zb — SX — sy = (s — b){zo — mx — n z)^ 

 8 — s cos Ф — / sin Ф s" — д д — m" cos ф — n ' sin ф 



d'où l'on tire 

 et faisant 



« cos Ф -f- s' sin 9 s -i- 8' ô -b m" cos Ф H- n" sin Ф' 



^==С08ф^,, |- = 8ІПф„ 



