20 



J. S ом о FF, 



on aura 



tang' I (Ф — ^ tang' I - ф„) ; 



mais 



l/*-^'^ — V ^'"-^^" - -b (s" _ â) 



par conséquent 



taug I (ф — ф^ = ± {s"— â) tang 4: — 



La différence s" — § ayant le même signe que s", il faut que le signe ± s'accorde avec 

 celui de la formule (35); parce que la tangente croît toujours avec l'arc. 



Si l'on fait encore z±: ^ = tang o, ± s"= sec о , on aura ± [s" — 8) = tang — ^ j ' 

 et tang 1 (ф — = tang ( j — |) • tang 4 (ф — ф^). 



Cette formule servira à calculer les limites de l'intégration par rapport à la variable ф au 

 moyeu de limites qui se rapportent à ф. Quand les limites par rapport à ф sont о et 2 тс, 

 ceux de ф seront о et rt 2тс. 



Après la substitution de ф à ф, la formule dû, prendra la forme 



/(cos Ф, sin ф, y A cos' ф ч- ß sin' ф H- С) с^ф, 



et son intégrale se réduira, au moyen des règles connues (voyez la théorie dex fonctions ellip- 

 tiques de Legendre), à des fonctions elliptiques, dont l'argument est la fonction de la pre- 

 mière espèce * 



Vi ~ A2 sin 2 ф 



qui a pour module la valeur 



On n'a pas besoin de faire les transformations précédentes quand a = о et ß = o, 

 c.-à-d. quand le plan sécant 



2 — ал; -+- ß(/ -b Y 



est perpendiculaire à l'axe du paraboloïde, car alors la fonction qui porte dans dû le ra- 

 dical, prend la forme 



Vl H- a' cos'ф H- 6^8Іп'ф = У1 -i- — (a' — 6') sin' ф 



