Beiträge zur Theorie der Bernoulli'schen und 

 Euler'sclien Zahlen. 



Von 



M. Ä. Stern, 



Der Eönigl. Gesellsch. der Wissensch, vorgelegt am 4. Mai 1878. 



Bekanntlich hat man eine grosse Anzahl Recursionsformeln zur Be- 

 rechnung der Bernoulli'schen Zahlen gefunden. Sie haben alle den ge- 

 meinschaftlichen Charakter, dass sie den Werth irgend einer Bernoulli'- 

 schen Zahl unter der Voraussetzung angeben, dass man sämmtliche vor- 

 hergehende Bernoulli'sche Zahlen bereits kennt. Dasselbe gilt auch von 

 den Secantencoefficienten oder Euler'schen Zahlen , wie ich sie im Folgen- 

 den nennen werde. Eine einzige Ausnahme bilden in Beziehung auf 

 die Bernoulli'schen Zahlen die zwei Recursionsformeln welche Herr Pro- 

 fessor Seidel, von einer eigenthümlichen Bildungs weise dieser Zahlen 

 ausgehend, vor nicht langer Zeit gefunden hat^). Bei diesen nemlich 

 braucht man nur, um die m}^ Bernoulli'sche Zahl zu finden, die ihr vor- 

 hergehenden, bis zur -^^ten oder ^ ten , je nachdem m gerade oder un- 

 gerade ist, als bekannt voraus zu setzen. Im Folgenden soll eine An- 

 zahl Formeln entwickelt werden, deren Charakter darin besteht, dass 

 man eine Bernoulli'sche Zahl vom Range 2k-\-r, wo r Null oder eine 

 ganze positive Zahl ist, durch eine Recursionsformel findet, in welcher 

 die vorhergehenden Bernoulli'schen Zahlen bis zur k^^^ vorkommen. 

 Diese Formeln enthalten nicht blos die erwähnten Seidel'schen als be- 

 sondere Fälle, sondern es ergeben sich auch aus denselben sowohl be- 

 kannte als unbekannte Relationen , in welchen alle Bernoulli'schen Zah- 

 len, von der ersten bis zu einer bestimmten, vorkommen. 



*) Sitzungsberichte der mathem -physik. Classe der K B. Akademie der Wis-^ 

 sensch. 1877 H. 2. S. 165 und S. 172. 

 Mathem. Classe. XXIIL 2. A 



