BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOULLI'SCHEN ü. EULERSCHEN ZAHLEN. 5 

 Dieser Ausdruck mit der Formel II) verglichen führt zu 



Da man nun auch 



schreiben kann, so sieht man, dass in der That allgemein 



L^f—f^ = {—Ifk 



ist. 



Aus 1) folgt 

 Zugleich ist, wie bekannt, 



3) A"^M^ = A''^+'* u + {71, 1) A'"+^-' u + [n, 2) ^'"+''-^u . . . + (w, A»" m 

 Setzt man in 2) und 3) 



r 



SO folgt 



A) = — 1)/'"+«-^ + (m, 2)/^+^-^ • • + (— w 



B) A V" = A'«+Y+ (w, 1) A'^+^-y . . . 4- (72, 1) A"*+y+ (w, /i) A^y 



Es sind nun hier vier Fälle zu unterscheiden: 

 Ist erstens m und zugleich n gerade, mithin, wie oben gezeigt 

 worden ist, A'y=m+/'^; A'"+y=— so folgt aus B) 



m-\-n-{n, l)[m-\-n—l) . . .+(w,j2— 2)(m+2)— l)(m+l)+(?2,w)m 

 + f{m-{-n) .... -\-{n,n — 2)/'"+' + [n, w)/"* 



Nun ist in dieser Gleichung die obere Horizontalreihe rechts 



= [m+n] [1— [n, 1) + (w, 2) . . . + (w, n)] + [(w, 1 )— 2 (^^, 2) + 3 3) . . . — ^ 

 = (m+w) (1 — If = 0 



also A'"/" z= /'^+'^-{- (^j, 2)/"^+"-^ . . . + {n, n)^^ 



Zugleich giebt A) 



