BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOÜLLFSCHEN U. EULER'SCHEN ZAHLEN. 9 

 IIa) [{n^) + [m,^)]B^^_^-[[n.,Z) + {m,?>)]B^J^_^ . . . 



n — 2 



+ (- ^V^[{n.. m) + [m, m)] = 0 



Setzt man in den Formeln 8) und 10) für k den Werth 1 so er- 

 hält man Recursionsformeln , welche alle Bernoulli'schen Zahlen , von der 

 ersten bis zu irgend einer r-{-2ten enthalten. Sie unterscheiden sich 

 aber von allen ähnlichen , (d. h. solchen , bei welchen in den einzelnen 

 Gliedern die einzelnen Bernoulli'schen Zahlen vorkommen) bisher bekann- 

 ten , und namentlich von den oben in §. 1. abgeleiteten, dadurch, dass 

 sie nicht zugleich ein Glied enthalten , in welchem gar keine Bernoulli'- 

 sche Zahl vorkommt. So erhält man aus 8) indem man m = 2; 

 n = 2r-j-4 und zugleich ^ = s = 2k-{-r setzt, 



8*) , [{2s,2)-l]B-{2sA)B^_^ . . . -\-{-Vr' B^ =0 



Ebenso folgt aus 10) wenn man m = 2 und 2k-\-r = r-{-2 = s, 

 also n = 2s — 1 setzt, 



10*) [{2s—l,l)-^2]B-{2s-l,S)B^_^...^[-lf-'B^ = 0 



Will man dagegen die Formeln 9) und 11) auf den Fall ausdeh- 

 nen , wenn ä- = 1 also auch m = 1 so bedürfen sie einer kleinen Modi- 

 fication. Diese Formeln beruhen nemlich auf der Voraussetzung, dass 

 A^/ — — m, während Ay nicht = — 1, sondern, wie oben bemerkt wor- 

 den ist, = — f ist. Man muss daher noch — ^ addiren und erhält 

 statt 9) wenn man n — 2r -\- 6 = 2s-\-l also s = r-\-2 = 2k-\-r setzt, 



9*) (25+1,2)5 - (2^+1,4) B^_^ . . . + (-1)*-^ (2.+1, 2s)B^M-m = 0 



ebenso erhält man statt 11) wenn man n = 2r -\-4 und 2k-\-r= ^ 

 = s setzt, also n = 2s\ r = s — 2 



11*) [(2.,l)+l]£-(2..3)5^_^... + (-l)*"\2.,2.-l)5, + (-l)^i = 0^) 



*) Die erste dieser zwei Formeln ist bekannt. Man findet sie , wenn man von der 

 obigen Formel II die Formel I abzieht und die Gleichung (2s-\-2, k) —{2s-{-l,Jc—i) 

 Mathem. Classe. XXIII. 2. B 



