BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOULLI'SCHEN U. EÜLER'SCHEN ZAHLEN. II 



A^'«5 = r'»+(2»^,2)r'"-' —(2m, 2m — 1)^1+^ 



^2m+i ^ _ (2 ,w + 1 , 1 ) g^"' — (2 m + 1 , 3) ^'"^-^ . . . + (2 m 4- 1 , 2 m)5^ — 



Indem man hier statt 5^'" u. s. w. die oben angegebenen Werthe setzt, 

 erhält man 



A^"^^ = 2(2-'»— l)/^'"+(2m,2)2(2^'"-2— 1)/«. . (2m,2m-l) — 1 

 ^2m+ic^ = „(2m+l, 1)2(2''"— l)/2'"—(2m+l, 3)2(2'"^-=^— 1)/"*-^ . . . 



+ (2m + l,2m) + ] 



Nun ist (§. 1. F. I.) 



(2m + l,l)/''"+(2mH-l,3)/''"~'+ . . . +(2m + l, 2m— 1)/' = m — \ 

 und (ebend. F. IV.) 



2'"^(2m4-l,l)/"" + 2^'"--(2m+l,3)/''"-=^+ 2m 



Zieht man die erste dieser Gleichungen von der zweiten ab und 

 multiplicirt die Differenz mit 2 so ergiebt sich 



(2m+l,l)2(2'''*— l)/'^-l-(2m+l,3)2(22'«-^— 1)/2''*-2+... =^ 2m+l 



Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem Werthe von A^'"+^5 so 

 findet man 



A''"+'^ =' — (2m + l) + (2m-f 1, 2m)4-l = 1 



Dies gilt jedoch nur wenn m nicht Null. Im entgegengesetzten 

 Falle hat man 



Ag = ^^— ^ = 2 

 Ferner ist (§. 1. F. III) 



(22"»_ \)f^ = — 22« (2 m, 2)/2'^-2— 2^"*-^ (2 m, 4)/'"'-'' . . . + m— i 

 oder 



_2(2'*"— 1)/'"* = 2''^2(2m,2)/-'^-'+2'''*-*(2m,4)/2'"-* . . . — (2m— 1) 



Zugleich hat man (ebend. F. II) 



0 = (2 m, 2)/2'"-2 4- (2 m, 4) p"""' ... — (m — 1) 



Zieht man diese Gleichung von der vorhergehenden ab , und mul- 

 tiplicirt die Differenz mit 2 so hat man 



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