14 M. A. STERN, 



Man kann die vier Formeln 12), 13), 14), 15) durch die einzige 



'^"[(w, r) + (— 1)"'+" {tn, r)] (2"'+»-'_ i^fi+n-r ^ q 



r = o 



ausdrücken. 



Schreibt man aber wieder ( — 1)*""^^^. statt f^*' so erhält man vier 

 neue Relationen zwischen den Bernoulli'schen Zahlen und zwar, indem 

 man noch immer n'^m setzt, wenn m und n beide gerade Zahlen sind 



16) 2 (2'"+^* — 1) (2'"+'*-'— 1) [[n, 2) + [m, 2)]B,n+n-2 . . . 



+ (— 1)2(2"*— l)ß,„ = 0 



2 



wenn m und n beide ungerade 



17) 2 (2'»+"— 1) B„^+n— — 1) [{n, 2) — (m, 2)] B m+n-2 . . . 



2 W — 1 2 



H- ( - 1)"^ {n,n—l) (2"^+^ — 1) 1 = 0 



2 



Wäre m = n so giengen diese Formeln , jenachdem m gerade oder 

 ungerade, in 



m 



(2^-- 1)5^ - (2«- 1) {m, 2) ... + (- 1)^ (S*^- 1) % - 0 



2 



und 



m — 1 



(22'»_l)^^_(2^--2-l)(m,2)5^_^...+(-l)"^(m,m— l)(2'^+^-l)i?^=0 



2 



Über. In diesen zwei letzten Gleichungen ist die zweite der oben (§. 1) 

 erwähnten von Herrn Prof. Seidel gefundenen Formeln enthalten. 

 Ist m gerade und n ungerade so hat man 



18) [{n,l)—{m, 1)](2"*+"'-^— l)J5^-i-[(w, 3)— (m, 3)] {2''-^''-'—l)Bm+n-z.„ 



2 W— 1 2 



+ (— ]) 2 (2'" — 1)% = 0 



2 



und v*^enn m ungerade, n gerade 



