BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOULLI'SCHEN U. EÜLER'SCHEN ZAHLEN. 15 



19) 1)— (m, 1)] Ij^^-i - [(n,3)— (m,3)] {2"^+^-'— l)B,n+n-z . . . 



2 



Setzt man also m = n = 2k-\-2r so folgt aus 16) 



20) 2 (2^^+^' - 1) B - {r^+^r-2__ 1) ^(^^ 2) + (m, 2)]^^ . . . 



n 



-i-{—l)'^{2^^~i)B^^ = 0 

 setzt man m = 2k — 1; n = 2k — 1 + 2^+2 

 so giebt 17) 



21) 2 (2^^+^' - 1) B^^^^ - (2*^^+^'-^- 1) [{n, 2) + K 2)] . . . 



+ (_1) 2 (2^^_-l)R =0 



n — 1 



setzt man m = 2k; n = 2k-\-2r-\-l so folgt aus 18) 



22) [{n, 1) - (m, 1)] (2^^+^^-l)^^ - [{n, 3)- (m, 3)] (2^^+^'-^- 1) B^ . . . 



n — 1 



+ (-1)^(2^^-1)5^ = 0 

 und setzt man m = 2k — 1, n = 2Ä+2(r-|-l) so folgt aus 19) 



23) [{n, 1) - (m, 1)] (2^^^' - 1) B^,.- [[n, 3) - [m, 3)](2^^+^'-^-l)5^ 



+ (— 1)'^"'(2'^ — 1)5, = 0 



k 



Die Formeln 20) und 22) gelten noch wenn man ^ = 1 setzt, und 

 zwar wenn man s = r-\-2 setzt, erhält man 



20*) 2(2'*— 1)5 —(2'*-'— 1) (2^— 2, 2)+l)5^ . . + (— l)«-i(22_i)5^ = 0 



22*) [(2s— 1,1) — 2](2'* — 1)5^ — (2^ — 1,3)(2'*-' — 1)5^_^ . .. 



' + (-l)*->(2^-l)5, =0 ' 



Dies sind also zwei neue Formeln, in welchen alle Bernoulli'schen 

 Zahlen von der ersten bis zur «t^n vorkommen, und die kein Glied ent- 

 halten, in welchem keine Bernoulli'sche Zahl vorkommt. 



Dagegen bedürfen die Formeln 21) und 23) , wenn man k — 1 

 setzt, einer Modification , wie dies schon in ähnlicher Weise bei den 

 Formeln 9) und 11) bemerkt worden ist. Da nemlich nun m = 2k — 1 = 1 



