16 M. A. STERN, 



und A'f^ = 2 so geht A'"^" in A^" über und man erhält aus B') wenn 

 n ungerade 



Ar = — 2[(2«+^— l)/«+'+(»i,2)(2«-'-l)/'*-^ . . -^{n,n-l){2'-l)f—l] 

 zugleich giebt A^) wenn n ungerade 



A^ = 2(2^'+^— 1)/"+^ 



Man hat daher 



2 (2'*+»— 1)/''+' + {n, 2) (2"-^— 1 . . . + (2^— 1) {n, n~l)f — i= 0 



und diesem entsprechend, wenn man n-\-l = 2s setzt, 



2(2'* — 1)^^ — (2'*-' — 1)(25 — 1,2)5_^. . ... 

 + (-lM2=^— 1)(25 — l,2.^-2)5'+(-iri = 0 

 Ist n gerade so giebt B^) 

 A^ = —2[{n, 1){2"— 3)(2''-^— 1)(2'— 1)/'— 1] 



zugleich folgt aus A^) 



A^ = _2(2'*_1)/'» 



also 



[{n, 1) - 1] (2-- K 3) (2'^-^- l)r-' ...Mn, n-1) [2'- l)f- i = 0 



woraus, wenn man n=2s setzt, 



[2ä,1 — 1](2'* — 1)^^ — (25,3)(2'*-' — 1)jB^_j .. . 



+ (- ly-' (2 s, 2s— 1) (2^ - 1) 5^ + (- ir-f = 0 



folgt. 



4. 



Eine neue Reihe und zM^ar viel verwickelterer Relationen zwischen 

 den Bernoulli'schen Zahlen erhält man , wenn man mit Hülfe der oben 

 (§. 2.) gefundenen Werthe 



y2m ^ y2r« __ ^ y 2m— 1 



die Formeln A) und B) (ebend.) umbildet. Es sind auch hier wieder 

 vier Fälle zu unterscheiden. 



