BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOULLI'SCHEN U. EULER'SCHEN ZAHLEN. 17 



Setzt man m = 2k , n — 2r so folgt aus A) wenn man überall 



— A/« statt f" setzt 



Entwickelt man nun in dieser Gleichung jeden der auf der rechten 

 Seite stehenden Ausdrücke nach der aus B) sich ergebenden Formel 



A/^'- = (2r, 0) A^'-+y-}- (2 r, 1) A^y . . . -|- (2 r, 2 r — 1) AV'-f (2 r, 2 r) A /" 



und setzt man zugleich zur Abkürzung s statt 2Ä--|-2r so dass 



A^ V = — (2 Är, 0) A — (2 Ä:, 2) A f'-'- — (2 4) A f'-' ...~{2k,2k)^ f-^^ 



so findet man ^^^f = 



— {2k,0) [{s, 0) A^+^ f-{- {s, 1) A7-+ (5, 2) A^- V. + 2 Ar^-'^+^ A/\ . . + ^) A f] 

 —{2k,2)[ (5— 2,0)A-'-V..H-(5— 2,2Ä-— 2)A''-2^+y...+(Ä— 2,s— 2)A/-] 



— (2 Ä:. 2 [ {s—2k, 0) A'^-2^+y . . . + (5 _ 2 A, 5— 2/t) A/] 



Schreibt man demnach 



A^V = — ^0 ^,AY. . . — Ä^^^'+'-'^f—Ä^^^^^'-'^f...~A^f 



so ist 



Ä^^ = '^[2k,2t)[s—1t,H—1t) 



t=o 

 i=i 



= ^{2k,2t){s—2t,2l—2t-\-l] 



t=o 



Auch ist = (2 A;, 0) + (2 2) . . . -f (2 k, 2 Aj = 2^'^-^ 



Da s gerade ist, so hat man A*+^/= — Ay = s-\~f^ u. s. w. 

 also 



A"'f'' = A,{s+l)~A,s...+AJs+l-2l)~Ä^^_^^{s-2l)... + iA^ 



- AJ' -A,r-' . . .-A^^^j'-^'. . . _ A_^,r 



Man schreibe die erste Horizontalreihe auf der rechten Seite in der Form 



^,(^H-l)-^,(.+ 1-1)... + ^^^(^+1-20-^,^^^^ + 1-2/- 1)... 



+ ^,(.+ l-.) + i^^ 

 Mathem. Classe. XXIII. 2. C 



