BEITRÄGE Z. THEOEIE D. BEßNOULLI'SCHEN U. EULER'SCHEN ZAHLEN. 23 



= '£{2k,2t-\-l){s—2t—l,2l—2t) 



t=l 



A\j^^^ J,i2k,2t-\-l){s—2t—l,2l—2t-{-l) 



woraus 



Dies mit den vorhergehenden Ausdrücken für A^^y^r+i verglichen führt 

 also wieder zu neuen Beziehungen zwischen den BernouUi'schen Zahlen. 



Jedoch bedarf diese Formel wieder einer Moditication wenn r = 0 

 also s = 2k. Da man nemlich nun in dem Ausdruck 



^2^1 = — (2Ä,1)/'^ . . . —{2k,2k—l)f^-\-f 



wieder A/' — ^ statt setzen muss, so ergiebt sich 



= —{2k, l)A/-2^ . . . —{2k,2k—l)^f'-\-k-i-f' 



Indem man nun diesen Ausdruck mit Hülfe der Formel B) in die 



Form 



bringt und dies wieder in 



-2kA\-^{2k-l)A\ . . . ^A^^_^+iA\^_^-\-k-\-f 

 -AJ'^-AJ^^-^ . . . -Ä^^_J^ 



verwandelt, zeigt sich dass zwar — A\-\-A\ . . wieder Null 



wird, aber —A^ + 2Ä^ . . . -^{2k — 2)A^^_^ — {2k—l)A\^_^ ist 



= — (2Ä,1)[(2A-— 1,1)— 2{2Ä:— 1,2) . . . +(2Ä— 1)(2A-— 1, 2Ä-— 1)] 

 + (2^,3)[2(2^— 3,0) — 3(2^ — 3,1) . . . — (2Ä-— 1) (2Ä: — 3, 2A;— 3)] 



+ (2A:,2Ä- — 1)[(2^— 2)(1,0) — (2X:— 1)(1,1)] 



Hier sind alle einzelnen Horizontalreihen Null nur nicht die letzte, 

 welche vielmehr — 2 k ist. Hierdurch ergiebt sich 



