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so findet man hiernach 



woraus sich mithin wieder neue Relationen zwischen den Bernoulli'schen 

 Zahlen ergehen. 



Wieder andere Relationen findet man, wenn man die Substitution 

 ^c^^rt— 1 __ c^2a |3gj^y|.2t. Dies giebt zunächst 



Mit Hülfe der Gleichung C) findet man hieraus weiter 



t=l 



wo A^^ = ^ {2k,2t){s—l — 2t,2l~2t) 



A^j^^ = *^{2k,2t){s — i — 2t,2l+l — 2t) 

 und die weitere Entwickelung giebt 



^2A^2r _ 2[^^(2^_i)/4-^^(2*-^— 1)/-^ . . . +^^_^(2^_-l)/2_2'^-'] 



In dem besonderen Falle wenn r = 1 muss wieder eine Modifica- 

 tion eintreten. Da nemlich dann aus A*) 



A^V = {2k, 2)^'^^+ . . . + (2Ä-, 2/i-)r 



folgt, so muss man, da = ^' + Ag\ auch statt nicht A^' sondern 

 substituiren. Hierdurch erhält man 



^%^ = A^^''+'%-{-A^^''+'% . . . +^^^^_^^a^ + i 



und die Endformel wird 



A^^5^ = -2 [A^{2''+'-l)f'+' . . . +^,,(2^- 1)/ 2^'-^] + 1 



Alles Vorhergehende bezieht sich auf die Voraussetzung, dass m 

 und n gerade Zahlen sind. Die drei anderen möglichen Fälle, welche 

 oben ausführlich behandelt worden sind, würden auch hier wieder zu 



