BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOüLLI'SCHEN ü. EÜLER'SCHEN ZAHLEN. 31 



man, wie früher, 2k-{-2r = s setzt, und die Gleichung A'^^tp = 0 be- 

 rücksichtigt, 



a) ^'^fr ^ cp''_|_(2A-,2)'/-2 . . . ^{2k,2k)f'- 



a') ^'^'f>• = (2r,l)A^'-icp + (2r,3)A*-2cp . . . 4-(2r,2r-l)A^^+icp 

 also 



cp*+(2yl-,2)cp^-^ . . . ^f>- = — 1) i^'- nf_ i^r, 3) y-^ (2--' - 1)/--' 



S s — 2 



Vermöge der Gleichungen cp^^ = ( — 1)''''-^^ und — [—if-^ 



erhält man also hieraus die folgende Relation zwischen den Euler'schen 

 und Bernoulli'schen Zahlen 



23) - (2A-.2)i;,^^_^ ... + (- ifE^, = (2r,l) 2^^+^-' (2^^+^'-l)^^_ 



(2r,3)2^^+^'--^(2^^+^*'-'^— 1)5^+^1. ..H-(—l)''+^(2r,2r—l)22^^^ 



Ä+r— 1 Ä+i 



In dem besonderen Falle wenn r = 1 giebt dies 

 23') 22Ä+2(22^+3_ x)Bk^ = B —[2k,2)B^ . . . ^-(-l)^^;^ 



ein Ausdruck einer Bernoulli'schen Zahl durch Euler'sche Zahlen welcher, 

 soviel ich weiss, noch nicht bekannt ist. Da die Euler'schen Zahlen 

 ganze Zahlen sind, so folgt hieraus, dass sobald k eine gerade Zahl und 

 mithin Ar-f-l kein Faktor von 2'^+^ ist, der Zähler von ^^.j^^ durch 



k-\-\ theilbar sein muss, sobald k-\-\ keinen gemeinschaftlichen Faktor 

 mit 2^^+" — 1 hat. Der Satz gilt also namentlich, wennA:-|-l eine Prim- 

 zahl ist, die Zahl 3 ausgenommen, weil dann immer A-j-l gegen 2''''+' — 1 

 Primzahl ist; man hat das bis jetzt nur mit Hülfe des Staudt'schen Theo- 

 rems bewiesen. 



Setzt man aber A = 0 und berücksichtigt dass nun , da A"*^ = 

 A»cp = 1, aus B") folgt 



