32 M. A. STERN, 



A2^>-'" = {2r, l)A*-'cp . . . +(2r,2/ — l)Acp4-l 

 so erhält man die Relation 



E,^. = (2 r, 1) 2=^'-' (2^^' — 1) 5 , . . . + (- !)'•+' (2 r, 2 r - 1) 2 (2^ — 1) 5, + (- !)'• 



r 



die schon Scherk gefunden hat*). 



Ist m gerade =2k und n ungerade = 2r+ 1 so folgt aus A") 

 und B") 



b) = ^{2k,l)f—{2k,3)^'-^ . . ._(2Ä-,2Ä:— l)cf.^'"+* 



b') A2^cp2'-+i = A^+'(V5H-(2r+l,2)A«-'(p . . . + (2r+l,2r)A'^^+^cp 



und demnach 



24) {2k,l)E,^^-(2A;3)E^_^^^^ . . . + (_ if- (2Ä-, 2Ä— l)i;^^, 



224+:r+. (22^+2,1-2 (2r + l,2)2'*+^'-'(2'*+'''-l)i9;t^^ . . . 



~ k+r+1 k+r 



+ (-ir(2.+ l,2r)2^^+^^ 



Setzt man r = 0 so geht dieser Ausdruck in 



24') L___Z^^ = (2A%l)jE,-(2^,3)i;,_^. .. + (-])^-U2Ä.2^-l)£^ 



über. Dies ist also neben 23') eine zweite Formel, durch welche eine 

 Bernoulli'sche Zahl vermittelst Euler'scher Zahlen ausgedrückt wird, ohne 

 dass die Formel ein von diesen Zahlen unabhängiges Glied enthält. 



Setzt man dagegen ^ = 1 und zugleich r — 1 statt r so erhält man 



24") E^ = 2''-{2''-+' — l)Br+^—{2r—l,2)2''-'{2''-—l)Br^ . . . 



+ (— 1)'-^ (2 r — 1, 2r—2) 2' {2' — 1) % 



2 



also eine Euler'sche Zahl durch eine Formel ausgedrückt , welche die 



*) A. a. 0. p. 5 Form. 2. 



