BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOULLI'SCHEN U. EULER'SCHEN ZAHLEN. 35 



k-\-r 



H- (— 1)^+1 [2k,2k—l) r^' (2*'+^ — 1) B^^ ^ 

 Ebenso fände man aus 24) 



Ä+r+1 k+r 



+ (— 1)^(2^, 2 — 1) 2-'-+» (22''+2— 1) B^^^ 

 Übereinstimmend mit 25) u. s. w. 



§• 7. 



Aehnliche Betrachtungen , wie sie in §. 4. angestellt worden sind, 

 führen, auf die Funktionen cp angewandt, zu verwickeiteren, neuen Be- 

 ziehungen, sowohl zwischen den Bernoulli'schen Zahlen als zwischen 

 diesen und den Euler'schen. Insofern nemlich wieder <^~™' = — Acp'*" = 

 A cp^'""^ und zwar auch wenn = 1 da cp* = 0, so kann man mit Hülfe 

 dieser Ausdrücke die Formeln A") und B") umbilden , wobei wieder vier 

 Fälle zu unterscheiden sind. 



Aus B") folgt 



C") A = A"+^ cp + (w, 1) A'^ cp + {n, 2) A'^-' cp . . . -f (w, w) A cp 



und zwar, je nachdem n gerade oder ungerade: 



A cp** = A'»+^ cp + (w, 2) A'*-^ cp . . . 

 Acp»* = 1)A> . . . 



Ist m = 2 k, n — 2 r so folgt aus A") wie schon oben §. 6. ge- 

 zeigt worden ist 



a) A^-^ cp^'- = cp^ + (2 ^, 2) cp*-- + (2 Ä-, 4) cp*"'^ • • • + cp"" 



also auch 



^2,- ^ _ A cp* — (2 ^, 2) A cp*-2 . . — A cp^»* 

 und mithin nach C"), wenn man die Gleichung A^'"cp = 0 berücksich- 

 tigt (§. 6), 



E2 



