36 M. A. STERN , 



A^'^^^'- =— A^+'cp— A*-'cp . . . — ^^A*-'^+'cp— . . . — A'l^f 



2 



WO 



A^= 5: [(2A:,20(ä — 2^,2^—20] 



Nun ist anderer Seits (§. 6.) 



a*) A^-^cp^»" = (2 r, 1) A*-' 9 + (2r, 3) A*"' cp . . . + (2 r, 2 r — 1) A2^+' cp 



Setzt man also statt A*+'cp, A*~'cp u. s. w. ihre Werthe in Ber- 

 noulli'schen Zahlen ausgedrückt, so findet man die Relation 



+ (-lf+'-^,^^.2(2^-l)5, 

 = (2r,l)2'^+''-^ (2^'+^'--l) Bk^-r-[2r,^) 2^^+^>-^(2^^+^^-^-l) 



+ (_ 1)'-+^ (2r, 2r — 1)2'*+^ (2'^+' — 1) Bk+r 



h+i 



wobei zu bemerken dass -4^^^ = 2^^~\ 



Berücksichtigt man die Gleichung 23) so hat man also auch eine 

 neue Relation zwischen Euler'schen und Bernoulli'schen Zahlen. 



Aehnliches gilt von den noch zu erörternden übrigen Formeln. 



t 



Ist r = 0 und also = 2 [(2^,2#)(2^— 2f.2/— 2#)] so hat man 

 2'^+'(2''^+'— 1)5^— .2'^-\2''^— 1)5^. .. + (—1)^^,^.2(2^— 1)5^ == 0 



k+l k 



Unter Anwendung der Gleichung cp^"'' = A cp^*""' folgt aus A") 



Alk 2r 1 2k+2r—l , 7 o\ a 2Ä-)-2r— 3 , a 2r— l 



cp =Acp ^ -j-(2A;,2)Acp ^ ... + Acp 



und hieraus nach C") 



A'^^^r ^ A\^'-'tf-^Ä\ A*-3cp . . .+^'^A«-2^-i. _ Acp 



