BEITRÄGE Z. THEORIE D. BERNOULLFSCHEN ü. EULER'SCHEN ZAHLEN. 41 



Man kann nun zeigen dass S'j) in jedem Falle eine ganze Zahl ist. 



Da nemlich [2n,p—2,)-\-{2n,2p — 4.) ^ (2^+ 2) — (2w,jt> — 2) 



-|-(2w-f-l, 2jö — 3) — {2n,2p — 3) . . . ist, und, wie ich an der erwähnten 

 Stelle gezeigt habe, (2w-f- 1,^ — 2) +(2 w+ 1, 2j9— 3) . . . in derThat 

 durch p theilbar ist , so ist nur noch zu zeigen , dass , je nachdem 

 kein oder ein Faktor von 7i ist, 



(2n,p — 2)-^{2n,2p~S).... 



oder 



{2n,p — 2)-{-{2n,2p — 3) ... +1 



durch p theilbar ist. Nun ist {2n,p — 2)-\- {2n,2p — 3)-|- . . . — 



(2w+l, jj — l)H-(2w+l,2p — 2) . . . — {2 n,p — 1) — {2n,2 p — 2) — . . . 



Da nun schon Herr Hermite in der oben erwähnten Untersuchung 

 gezeigt hat, dass {2n-\-l,p — 1) -\- {2n-\- 1, 2p — 2) . . . durch p theilbar 

 ist, so ist nur noch zu zeigen, dass je nachdem — ^ kein oder ein Faktor 

 von n ist, 



(2/?,p— l) + (2w, 2jo— 2) . . . =0 oder = 1 



nach dem Modul p ist , was , mit Anwendung des von Herrn Hermite 

 gebrauchten Verfahrens , sehr leicht auszuführen ist. Bezeichnet nem- 

 lich w die verschiedenen Wurzeln der Congruenz x^"^^ — 1 = 0, (mod. 

 p), so ist 



2(1+^)-" = {p-l)[l-\-{2n,p—l) + {2n,2p—2)-\- . . .] 



Ferner ist 1 + S (1 + '^t^)'"' = 0 oder = — 1 (nach dem Modul j)) 

 ie nachdem kein oder ein Faktor von n ist. Im ersten Falle , in 



J 2 



welchem also 2n, 2n nicht in der Summe 



l-\-{2n,p — l)-^{2n,2p — 2)... 



vorkommt, ist Y.ß-i-'ivf"= — 1 — {2n,p- — 1) — {2n,2p — 2). ..und zu- 

 gleich 2^ (1 + wf'^ = — 1 mithin 



i2n,p—l)-^{2n,2p — 2)-{- . . . = 0 

 Mathem. Classe. XXIII. 2. F 



