THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRÜENZEN. 7 



dividirt, einen Rest (fi{t) von niedrigerem Grade als w, und gleichzeitig 

 ist <p^{(}) = <p[&)\ ii^it Benutzung einer schon oben gebrauchten Bezeich- 

 nungsweise [B. §. 3) kann man daher 



o' [1, Q, . . . 



setzen. Ausserdem ergiebt sich aus der Irreductibilität der Gleichung 

 F [Q) = 0, dass jede Zahl lo nur auf eine einzige Weise in dieser letz- 

 teren Form <f[Q) darstellbar ist; doch werden wir uns im Folgenden 

 durchaus nicht immer auf diese Darstellungsform der Zahlen co' beschrän- 

 ken , vielmehr auch Functionen von beliebig hohem Grade zulassen. 



Die sämmtlichen Primzahlen p, — mit welchem Namen stets ratio- 

 nale, positive Primzahlen bezeichnet sein sollen — , zerfallen nun, nach- 

 dem einmal eine bestimmte Zahl d gewählt und der Darstellung zu 

 Grunde gelegt ist, in zwei verschiedene Arten; die erste Art besteht aus 

 den unendlich vielen Primzahlen , welche in dem Index k der Zahl d 

 nicht aufgehen ; falls k = + 1 ist , gehören alle Primzahlen dieser ersten 

 Art an , und o' ist identisch mit o. Wenn aber k^"^ 1 ist , so giebt es 

 eine endliche Anzahl von Primzahlen der zweiten Art, nämlich solchen, 

 welche in k aufgehen. Es wird sich im folgenden Paragraphen zeigen, 

 dass die Zerlegung der Primzahlen der ersten Art , oder vielmehr die 

 Zerlegung der ihnen entsprechenden Hauptideale op^) in Producte aus 

 lauter Primidealen sich vollständig zurückführen lässt auf die Zerlegung 

 der Function jP(^) in ein Product aus lauter Primfunctionen in Bezug auf 

 den Modul p [C. 6.), während dies für Primzahlen der zweiten Art nicht 

 in gleich einfacher Weise möglich ist. Dieser Untersuchung sind fol- 

 gende Bemerkungen vorauszuschicken. 



Es sei p eine bestimmte Primzahl der ersten Art, also k nicht 

 theilbar durch p. In diesem Fall ist eine in o' enthaltene Zahl 



CO' = + + + 



nur dann durch p theilbar (also von der Form pw, wo w eine ganze, 



1) Diese Bezeichnung der Hauptideale ist zweckmässiger als diejenige i(p), 

 welche ich früher (D. §. 163) gebraucht hahe. 



