R. DEDEKIND 



d. h. in 0 enthaltene Zahl bedeutet), wenn alle Coefficienten x^, x^, 

 • • • durch p theilbar sind; denn setzt man 



n—l 



^2 = ^'2 "^o"!" '^2'^1~1~ ^2 "^'2 • • • ~l~ ^2 ^ "^71—1 



M n 0 I n l ' n ~ ' '71 m— 1 



SO ist 



und wenn w durch p theilbar sein soll, so muss (zufolge der Bedeutung 

 von cOj, CO, . . . coj jede der Coordinaten h^, . . . h^^ durch p theilbar 

 sein; hieraus ergiebt sich aber weiter, dass die Producte kx^, kx^, kx.^ 

 . . . kx^_^, und folglich auch die Coefficienten x^^ x^, x^ . . . x^_^ sämmt- 

 lich durch theilbar sein müssen, wie behauptet war. Denselben Satz 

 kann man offenbar auch so aussprechen: ist eine Zahl w' der Ordnung 

 0' theilbar durch eine Primzahl p der ersten Art, so ist auch der Quo- 

 tient j eine Zahl derselben Ordnung o'. Umgekehrt, wenn alle Coeffi- 

 cienten Xq, X ^, x^ , . . durch p theilbar sind, so ist selbstverständ- 

 lich auch co' durch theilbar. Es sind daher zwei Zahlen und 

 (p^{d) der Ordnung o' stets und nur dann einander congruent nach dem 

 Modul j9, d. h. ihre Differenz g> ^{9) — SP2(Ö) ist theilbar durch ^, wenn 

 je zwei entsprechende Coefficienten der beiden Functionen sPj(^) und 

 ^^{t) einander nach p congruent sind, d. h. in der Bezeichnungsweise 

 der Theorie der höheren Congruenzen, wenn 



9'iW = <iP2W (™od. p) 

 ist (C 1.). Hierbei war aber vorausgesetzt, dass die Grade der Func- 

 tionen ^j^{t), fp^[t) kleiner als n waren; ist dies nicht der Fall, so erhält 

 man durch Division mit F[t) eine Identität von der Form 



^iW-SPaW = F{t)yj{t)-i-yj,{t), 

 wo V'iW '^on niedrigerem Grade als n ist, und hieraus ^^(ö) — Vzi^) 

 = t/^i(ö); soll nun 



