THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRÜENZEN. 



<p,{9) = g>^{d) (mod. p) 

 sein, so muss nach dem Obigen tp^it) = p\p^[t), also 



9x[t) — ^^[t) == F{t)xp{t)-\-pip^{t) 

 sein ; das Stattfinden einer solchen Identität bezeichnet man aber in der 

 Theorie der höheren Congruenzen durch 



<p,{t)~fp.-,[t) = F{t)xp{t) (mod. 

 oder noch kürzer (C. 7.) durch 



(p^{t) = <p,{t) (modd. p, F[t)). 



Umgekehrt leuchtet ein , dass aus dieser letzten Functionen - Congruenz 

 auch wieder die Zahlen- Congruenz 



<p,[Q)=if,ß) (mod. p) 



folgt; beide Congruenzen sind daher gleichbedeutend. Mithin giebt es in 

 o' genau ebenso viele nach p incongruente Zahlen <p [Q) , als es incon- 

 gruente Functionen (p[t) in Bezug auf den Doppelmodul p, F[t) giebt; 

 da nun die Anzahl der letzteren = p^ ist (C. 8.), und da die Anzahl 

 (o, Oj?) = iV(jo) aller in o enthaltenen, nach p incongruenten Zahlen ge- 

 nau ebenso gross ist {B. §. 18; D. §, 162), so ergiebt sich das wichtige 

 Resultat: jede Zahl w des Gebietes o ist mit einer Zahl w = (p[Q) der 

 Ordnung o' congruent nach dem Modul p. 



Zu derselben Folgerung gelangt man unmittelbar auch durch folgende 

 einfache Betrachtung. Aus den n Relationen zwischen den Zahlen. 

 1. . . . 0"~^ einerseits und den Zahlen u), , co., . . . to andererseits 



geht hervor, dass die Producte kw^, ko)^ . . . k(o^ und folglich auch alle 

 Producte von der Form ko), wo w jede beliebige Zahl in o bedeutet, in 

 der Ordnung o' enthalten sind; man kann daher A'co = y (ö) setzen. Da 

 nun k durch die Primzahl p nicht theilbar ist , so kann man die ganze 

 rationale Zahl l so wählen, dass kl=l (mod. p) wird, und hieraus folgt 

 to = lkw ~ l(p[6) (mod. p)\ also ist <jd wirklich mit einer Zahl l<p[Q) der 

 Ordnung o' congruent nach dem Modul p. 



Ganz anders verhält es sich dagegen , wenn p eine Primzahl der 

 zweiten Art ist; da in diesem Falle die Determinante k durch p theilbar 

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