THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRÜENZEN. 



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Ist nun P eine beliebige dieser m Primfunctionen , und q = 

 so entspricht derselben ein bestimmtes Ideal welches wir als den 

 grössten gemeinschaftlichen Theiler der beiden Hauptideale op und oq 

 definiren. üm die Eigenschaften dieses Ideals p festzustellen, betrachten 

 wir zunächst alle diejenigen, in der Ordnung o' enthaltenen Zahlen \p 

 welche durch p theilbar (d. h. in p enthalten) sind, und wir wollen be- 

 weisen, dass die Zahlen-Congruenz 



yj{9) = 0 (mod. p) (1) 



völlig gleichbedeutend ist mit der Functionen -Congruenz 



yj{t) = 0 {modd. p, P). (2) 



In der That, da das Ideal p zufolge seiner Definition (Z). §. 163 ; B. §. 19) 

 der Inbegriff aller Zahlen von der Form 



Qa-\-pß 



ist, wo of, ß willkürliche Zahlen des Gebietes o bedeuten, und da (nach 

 § 1) jede Zahl cc mit einer Zahl (p [&) der Ordnung o' congruent ist nach 

 dem Modul p, so folgt aus (1) eine Congruenz von der Form 



xp[Q) = P[Q)<p{B) (mod. p)- 



hieraus ergiebt sich aber (nach §. 1) die Functionen-Congruenz 



^p[t) = P[t)<f[t) (modd. p, F), 



also auch die Congruenz (2) , weil F durch P theilbar ist. Umgekehrt 

 folgt aus (2) unmittelbar, dass ■ip{ß) von der Form Qcc-\-pß, also = 0 

 (mod. p) sein muss, womit die obige Behauptung bewiesen ist. 



Mit Hülfe dieses Eesultates kann man leicht die Norm des Ideals 

 p, d. h. die Anzahl (o, p) = N{p) der in o enthaltenen , nach p incon- 

 gruenten Zahlen bestimmen. Sind nämlich cc^, zwei beliebige Zahlen 

 in 0, so giebt es (nach §. 1) in o' zwei Zahlen ^>y%, ff^%. welche resp. 

 den Zahlen , nach p congruent sind , und da p durch p theilbar 

 ist, so ist auch 



«i=5Pi(ö), cc2=<p^[6) (mod. p)\ 



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