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die beiden Zahlen o;^, sind daher stets und nur dann congruent in 

 Bezug auf ^, wenn 



ip,{Q) = ^^{Q) (mod. p) 



ist; diese Congruenz ist aber nach dem Obigen gleichbedeutend mit der 

 Congruenz 



if^{t) = (p^{t) (modd. p, P); 



es giebt daher in o genau ebenso viele incongruente Zahlen a in Bezug 

 auf p, als es incongruente Functionen cp{t) in Bezug auf den Doppel- 

 modul p, P giebt, und da die Anzahl der letzteren = ja-^ ist, wo /" den 

 Grad der Function P bedeutet (C. 8.), so erhalten wir 



iV(p) = pf. 



Ebenso leicht ergiebt sich, dass p ein Primideal ist. Da nämlich 

 f>^ 1 , also N[p) > 1 ist , so ist p jedenfalls von o verschieden , und es 

 braucht daher nur noch gezeigt zu werden , dass p kein zusammenge- 

 setztes Ideal, d. h. kein Product von der Form o^ag ist, wo die Ideale 

 Qj, beide von o verschieden sind. [D. §. 163; B. §. 25, 4"). Ein 

 solches zusammengesetztes Ideal m = ^i^z besitzt die charakteristische 

 Eigenschaft, dass immer zwei durch m nicht theilbare Zahlen cj^, exi- 

 stiren, deren Product ci^cc^ durch m theilbar ist; denn weil die Ideale 

 a^, beide von o verschieden sind, so kann auch keines von ihnen 

 durch ihr Product m = a^a2 theilbar sein, und folglich giebt es eine 

 durch Oj, aber nicht durch m theilbare Zahl a^, und ebenso eine durch 

 Qj, aber nicht durch m theilbare Zahl a^, und offenbar ist a^a^ theilbar 

 durch itt. Es wird daher p gewiss ein Primideal sein, wenn wir beweisen 

 können, dass ein Product «^«2 dann durch |) theilbar ist, wenn 



wenigstens einer der Factoren a^, durch p theilbar ist. Zu diesem 

 Zweck setzen wir, wie oben, 



= cc^ = (p^[Q) (mod. p), 



so ist 



a^a^ = (f^[Q)(p^[Q) (mod. p); 

 soll nun «^«2 =0 (mod. p) sein, so muss auch 



