THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRUENZEN. 13 

 <p,[Q)ip^{&) = Q (mod. p), 



mithin 



<f)^{t)<p^[t) = 0 (modd. p, P) 



sein ; da aber P eine Primfunction ist, so muss wenigstens eine der bei- 

 den Congruenzen 



<p^[t) = 0, (f,,[t) = 0 (modd. jö, P) 



Statt finden (C. 6.), also auch wenigstens eine der Congruenzen 



9>i{d) = 0, q^^{Q) = 0 (inod. p), 



d. h, wenigstens eine der beiden Zahlen a^, muss = 0 (mod. p) sein. 

 Also ist p ein Primideal; und zwar sagen wir [B. §. 21), dass p ein 

 Primideal vom Grade f ist, weil N{^) — p-^ ist. 



Jetzt wollen wir beweisen, dass der Exponent e der höchsten in F 

 aufgehenden Potenz von P zugleich der Exponent der höchsten in p 

 aufgehenden Potenz des Primideals p ist. In der That , wenn F nach 

 dem Modul p durch P^, aber nicht durch P*+* theilbar ist, so kann man 



F= 8P^ (mod. p) 



setzen, wo nicht theilbar durch P ist, woraus nach dem Obigen folgt, 

 dass die Zahl 



a = S{Q) 



nicht durch p theilbar ist. Da ferner p der grösste gemeinschaftliche 

 Theiler der beiden Ideale op und ist, so können wir 



op = pa, OQ = pti 



setzen, wo q, tt relative Primideale bedeuten, und wir haben zu beweisen, 

 dass p^"' die höchste in a aufgehende Potenz von p ist. Zu diesem 

 Zweck betrachten wir die Zahl 



f} = gq'-' = S{Q)P{df-'; 



dieselbe kann nicht durch p theilbar sein , weil der Grad der Function 

 ^pe-i ijigij^g;^ als n, und weil ihr höchster Coefficient = 1 ist; aber fj 

 ist theilbar durch p^"', weil q durch p theilbar ist. Vermöge der Con- 

 gruenz F=8P'' (mod. p) ist nun das Product rjQ = oq^ theilbar durch 



