THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRUENZEN. 15 



und 



' V • • • c 



sind die höchsten in p aufgehenden Potenzen dieser Ideale. Diese m Prim- 

 ideale sind verschieden von einander; denn da z. B. nicht durch 

 theilbar ist (mod. p), so ist die durch theilbare Zahl P^[^) nicht durch 

 theilbar, und folglich sind verschiedene Primideale. Endlich 



bemerken wir, dass p durch kein anderes Primideal theilbar sein kann; 

 da nämlich 



P,{Qf^ PM^- ■ . • P,ßi'^ = 0 (mod. p) 



ist, so muss ein in p aufgehendes Primideal auch in einer der Zahlen 

 ^ =■ P{d) aufgehen und folglich mit dem Primideale |) identisch sein, 

 welches der grösste gemeinschaftliche Theiler der beiden Ideale op und 

 OQ ist. 



Aus allem Diesem folgt {D. §. 163; B. §. 25), dass 



op = 



ist, und eine Bestätigung dieses Resultates ergiebt sich durch die Be- 

 trachtung der Normen, wenn man berücksichtigt, dass = 



ist. Es ist somit folgender Satz bewiesen , den ich zuerst in den Göt- 

 tinffischen gelehrten Anzeigen vom 20. September 1871 ohne Beweis mit- 

 getheilt habe: 



I. Ist der Index k der ZaJd 0, welche der irreductihelen Gleichung 

 wten Grades F[Q) = 0 genügt, nicht theilbar durch die Primzahl p, 

 und ist 



F=P[^Pl^ . . .Pl^ [mod.p], 



wo Pj, P^ . • . Pj^ incongruente Primfunctionen resp. vom Grade fi,/^ • • • 

 f bedeuten, so ist 



