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R. DEDEKIND, 



2V0 p2 ' • ' Pm einander verschiedene Primideale resp. vom Grade 

 fi ' • • • An ^war entspricht je einer Primfunction P ein bestimmtes 



Primideal p in der Weise, dass p der grösste gemeinschaftliche Theiler der 

 beiden Ideale op und oP{d) ist. 



§• 3. 



Aus diesem Satze geht hervor, dass man bei Zugrundelegung einer 

 bestimmten ganzen Zahl d des Körpers i2, welche zur Darstellung von 

 unendlich vielen ganzen Zahlen (p [9) dient, mit voller Sicherheit die Zer- 

 legung aller derjenigen Primzahlen p findet, welche nicht in dem Index 

 k dieser Zahl d aufgehen; es ist daher von grosser Wichtigkeit zu wis- 

 sen , ob eine Primzahl p in dem Index k aufgeht oder nicht. Sobald 

 freilich eine Basis co ^, lo^ . . . des Gebietes o, oder auch nur die 

 Grundzahl D des Körpers i2 bekannt ist, erledigt sich diese Frage sehr 

 leicht, weil hieraus k direct gefunden werden kann; denn aus den Coef- 

 ficienten der Gleichung F{9) = 0 lässt sich ihre Discriminante 



und hieraus durch Division mit D das Quadrat des Index k bestimmen. 

 Bei den meisten Untersuchungen liegt aber die Sache ganz anders, näm- 

 lich so, dass nur die Gleichung F{Q) = 0, nicht aber die Grundzahl D 

 des ihr entsprechenden Körpers gegeben ist; es kommt darauf an zu 

 entscheiden , ob eine bestimmte Primzahl p in dem noch unbekannten 

 Index k der Zahl ö aufgeht oder nicht. Dies gelingt nun in der That, 

 wie wir jetzt zeigen wollen , mit Hülfe der Theorie der höheren Con- 

 gruenzen, und zwar hängt die Entscheidung, wenn wir die früheren Be- 

 zeichnungen beibehalten, wesentlich von der Beschafienheit der Function 

 M ab, welche in der Identität 



F = P'^P^ . . . P'^^—pM 



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auftritt. Dies ergiebt sich aus den beiden folgenden Sätzen. 



