THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRÜENZEN. 



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II. Ist der Index k der Zahl Q nicht theilhar durch p, so kann M 

 nach dem Modul p durch keine Primfunction P theilhar sein, deren Quadrat 

 in F aufgeht. 



Zum Beweise dürfen wir alle Folgerungen benutzen, welche im vo- 

 rigen Paragraphen aus der Annahme gezogen sind , dass k nicht durch 

 p theilhar ist. Indem wir alle dort gebrauchten Bezeichnungen beibe- 

 halten, setzen wir F = S P^ (mod. p), also 



F = SP'—p3I, 



und nehmen an, es sei e^2; dann ist p theilhar durch p^, folglich a 

 theilbar durch mithin b nicht theilbar durch p. Es ist daher p'' die 

 höchste in der Zahl 



S{d)P[dr = pM[Q) 



aufgehende Potenz von p, und da p durch theilbar ist, so kann M{d) 

 nicht durch p theilbar sein , und folglich kann die Function M auch 

 nicht = 0 (modd. p, P) sein, w. z. b. w. 



Auch ohne Benutzung der im vorigen Paragraphen gewonnenen 

 Resultate lässt sich derselbe Satz leicht in der folgenden indirecten, aber 

 vollständig aequivalenten Form beweisen : 



Ist F nach dem Modul p theilhar durch das Quadrat einer Primfunc- 

 tion P, also 



F ^ SP'—pM, 



wo e'^2 , und ist M theilhar durch P, so muss der Index k der Zahl 9 

 durch die Primzahl p theilbar sein. 



Behalten die Buchstaben q, a, t] dieselbe Bedeutung, wie im vorigen 

 Paragraphen, setzen wir also 



so wird (nach §. 1) der Beweis unseres Satzes geführt sein, wenn wir 

 zeigen, dass unter den jetzigen Annahmen die Zahl = S[Q)P{6f~^ 

 durch p theilbar sein muss; denn die Function SP^~^ ist von niedrige- 

 rem Grade als n und auch nicht = 0 (mod. p). Die Zahl ri wird ferner 

 gewiss durch p theilbar sein, wenn bewiesen wird, dass alle in p aufge- 

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