18 E. DEDEKIND, 



henden Potenzen von Primidealen auch in >j aufgehen (D. §. 163 ; B. 

 §. 25). Zu diesem Zweck setzen wir 



,u = M(9) 



und betrachten die Gleichung 



GQ*^ z=: rjQ = p^u. 



Ist nun p ein in p, aber nicht in q aufgehendes Primideal , so folgt aus 

 tjQ = pjLi unmittelbar, dass t] durch die höchste in aufgehende Potenz 

 von p theilbar ist. Ist aber :p ein in p und gleichzeitig in q aufgehendes 

 Primideal, so ergiebt sich Folgendes. Da S und P relative Primfunctio- 

 nen sind , so existiren zwei Functionen TJ, V, welche der Congruenz 



SÜ-\-PV^ 1 (mod. p) 



genügen (C 4.) ; hieraus ergeben sich die Zahlen-Congruenzen 



o U{d) -\-QV{d)=l (mod. p) 



o U{d) = 1 (mod. p), 



und folglich ist a nicht theilbar durch p. Sind daher p^, p'', p*" die 

 höchsten resp. in p, ^, /u aufgehenden Potenzen von p, so folgt aus 

 OQ^ = pfj, und ri = aQ^~\ dass 



er = h-\-m, 



und dass der Exponent der höchsten in t] aufgehenden Potenz von p gleich 



{e — 1) r = h-}-m — r 



ist; um daher wieder zu beweisen, dass tj durch theilbar ist, brauchen 

 wir nur noch zu zeigen, dass 



m>r 



ist. Hierbei unterscheiden wir zwei Fälle. Ist erstens r> h, so verwer- 

 then wir die erste Annahme unseres Satzes, derzufolge e>2 ist; hieraus 

 folgt in der That h-\-m = er>2r, mithin m — r^r — h^O, wie be- 

 hauptet war. Ist aber zweitens r<h, so benutzen wir die zweite An- 

 nahme unseres Satzes, derzufolge M=:0 (modd. p, P), d. h. M=PT 

 (mod. p], also /u = ^ T[Q) (mod. p) ist; da nun sowohl q, als auch p durch 



