THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRUENZEN. 19 



theilbar ist, so folgt aus dieser Congruenz, dass auch /ii durch theil- 

 bar, d. h. dass m>r ist, w. z. b. w. 



Nachdem der Satz II auf zwei verschiedene Arten bewiesen ist, be- 

 haupten wir auch die Richtigkeit des umgekehrten Satzes : 



III. Ist M durch keine solche Primfunction P theilbar [mod. p), deren 

 Quadrat zugleich in F aufgeht, so ist der Index k der Zahl 9 nicht theilbar 

 durch p. 



Derselbe Satz kann offenbar auch in der folgenden Form ausge- 

 sprochen werden : 



Ist der Index k der Zahl Q theilbar durch die Primzahl p, so giebt es 

 eine in M aufgehende Primfunction P, deren Quadrat zugleich in F auf- 

 geht (mod. p). 



Dem Beweise legen wir die letztere Form zu Grunde, weil die An- 

 nahme, dass k durch p theilbar ist, eine leichtere Verwerthung gestattet, 

 insofern aus ihr (nach §. 1) die Existenz einer durch p theilbaren Zahl 



folgt, deren Coefficienten _j nicht alle durch p theilbar 



sind. Bezeichnet man nun mit A den grössten gemeinschaftlichen Thei- 

 1er der beiden Functionen (p [t) und F nach dem Modul p , so ist der 

 Grad von A kleiner als n, weil (p von niedrigerem Grade als n und auch 

 nicht = 0 (mod. p) ist; setzt man daher 



F = AB—pM, 



so istjB keine Constante. Nun existiren zwei Functionen y^, y^. welche 

 der Congruenz 



if[t)ip^[t)-\-F{t),f^{t) = A[t) (mod. p) 



genügen (C. 4.); hieraus ergiebt sich, dass die Zahl^(Ö) ebenfalls durch 

 p theilbar ist^) und folglich einer Gleichung von der Form 



1) In ähnlicher Weise kann man leicht zeigen , dass das Kriterium für die 

 Theilbarkeit einer Zahl (piß) durch ^9 in der Congruenz y (#) = 0 (modd.jp, K) besteht, 

 wo K einen völlig bestimmten Theiler der Function F nach dem Modul p bedeutet. 



C2 



