THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRUENZEN. 



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der Frage, ob cler Index k der Zahl Q durch die Primzahl p theilbar ist, 

 vollständig zurückgeführt auf die Zerlegung 



F = p':pI' . . . p'^'—pM, 



durch welche die Function F als Product von lauter Primfunctionen 

 nach dem Modul p dargestellt wird. Zeigt es sich, dass F durch kein 

 Quadrat einer Primfunction theilbar ist, dass also alle Exponenten e^, 

 . . . e^^ = 1 sind^). oder zeigt es sich, dass keine derjenigen Primfunc- 

 tionen, deren Quadrate in F aufgehen, in M aufgeht, so ist k nicht 

 durch p theilbar, und es gilt der Satz I des §. 2. Giebt es aber eine in 

 ili" aufgehende Primfunction, deren Quadrat zugleich in aufgeht, so 

 ist k theilbar durch p, und aus dem zweiten Beweise des Satzes II geht 

 leicht hervor, dass dann die Zerlegung des Ideals op in Primfactoren 

 eine andere ist, als die im Satz I behauptete. 



Diesem Resultate fügen wir noch folgende Bemerkung hinzu. Sind 

 die Functionen R^, ■ • • resp. congruent den Functionen P^, P^ 

 . . . P , so sind sie ebenfalls Primfunctionen, und es wird 



m 



F = R'^Rl' . . . R''^—pN, 



WO die Function N durchaus nicht = M (mod. p) zu sein braucht. Da 

 aber die Theilbarkeit des Index k der Zahl Q durch p von dieser Aus- 

 wahl der Primfunctionen gänzlich unabhängig ist, so muss man schliessen, 

 dass die Eigenschaft der Function M, welche für diese Frage allein ent- 

 scheidend ist , auch für jede Function N bestehen bleibt. Dies Hesse 

 sich leicht durch die Rechnung unmittelbar bestätigen; bezeichnet man 

 mit Q das Product aller derjenigen in F aufgehenden Primfunctionen, 

 deren Quadrate in F nicht aufgehen, so kann man durch geeignete Wahl 

 der Functionen R^ . . . R^^ stets zu einer Function gelangen , die 

 relative Primfunction zu Q ist ; aber sobald M durch eine Primfunction 



1) Dies wird stets und nur dann der Fall sein, wenn die Discriminante 

 ^(1, e, Ö2...e"-*) der Gleichung F{6) = 0 nicht durch p theilbar ist. 



