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R. DEDEKIND, 



P theilbar ist, deren Quadrat in F aufgeht, so zeigt die Rechnung, dass 

 auch jede Function N durch P theilbar ist^). 



§■ 4. 



In den zuerst von Kummer behandelten Zahlengebieten o, welche 

 aus einer primitiven Wurzel d der Gleichung ö'" — 1 entspringen, tritt 

 der glückliche Umstand auf, dass die Potenzen 1, Q, 9- . . . wo 

 n = (p[m), eine Basis des Gebietes o bilden, und dass folglich der Index 

 k der Zahl Q, welche der ganzen Untersuchung zu Grunde gelegt wird, 

 stets = 1 ist. Bei der allgemeinen Untersuchung eines beliebigen end- 

 lichen Körpers Sl und des Gebietes o, welches aus allen in £1 enthaltenen 

 ganzen Zahlen besteht, erkannte ich zwar sehr bald, dass derselbe ein- 

 fache Fall nur ausnahmeweise auftritt, aber ich hielt es doch lange Zeit 

 für sehr wahrscheinlich , dass für jede gegebene Primzahl p sich eine 

 ganze Zahl ö des Körpers i2 würde finden lassen, deren Index nicht 

 durch p theilbar wäre, und mit deren Hülfe es folglich gelingen würde, 

 die Bestimmung der Idealfactoren von p auf die Theorie der höheren 



1) Hiernach beschränkt sich die Idealtheorie von Zolotareff auf den Fall, 

 dass der Index /.; nicht durch theilbar ist. Dies scheint wenigstens aus folgenden 

 "Worten hervorzugehen, welche sich in der oben erwähnten Anzeige finden {Jahrbuch 

 über die Fortschritte der Mathematik, Bd. 6.): ,,Um die Theorie in ihrer einfachsten 

 Gestalt darzustellen, nimmt der Verfasser an, dass F^{x) durch keine der Func- 

 tionen F, F,, F2 . . . theilbar ist. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so kann man 

 für einen gegebenen Modul p die Gleichung F(x) = 0 derart transformiren , dass 

 jene Annahme erfüllt ist. Die Auseinandersetzung jener Transformation behält sich 

 der Verfasser für eine andere Gelegenheit vor". — Da es nach meinen Untersu- 

 chungen (vergl. §. 5 dieser Abhandlung) Körper giebt, in welchen die Indices aller 

 ganzen Zahlen 6 durch dieselbe Primzahl p theilbar sind, und folglich auch alle Glei- 

 chungen F(6) = 0 diejenige störende Eigenschaft besitzen, welche sich der unmit- 

 telbaren Anwendung der Theorie von Zolotareff widersetzt, so vermuthe ich, dass 

 in den eben citirten Worten der Anzeige ein Missverständniss obwaltet. Wahrschein- 

 lich wird die von dem Verfasser beabsichtigte Vervollständigung seiner Theorie sich 

 auf ähnliche Betrachtungen stützen, wie diejenigen , welche in der Theorie der idea- 

 len Zahlen vonSelling entwickelt sind (ßchlömilch' s Zeitschrift, Bd. 10. S. 12ff.) 



