THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRUENZEN. 23 



Congruenzen zurückzuführer. Da aber alle meine Veisuche , die Exi- 

 stenz einer solchen Zahl ß nachzuweisen, fruchtlos blieben, so entschloss 

 ich mich endlich, wo möglich die Unrichtigkeit dieser Vermuthung dar- 

 zuthun, und zu diesem Ziele gelangte ich, wie ich schon in den Göttin- 

 Fischen gelehrten Anzeigen vom 20, September 1871 angedeutet habe, 

 durch die Betrachtungen, welche den Gegenstand dieses und des folgen- 

 den Paragraphen bilden. 



Es sei p eine bestimmte Primzahl, und p^, . . . p^^^ seien die 

 sämmtlichen von einander verschiedenen Primideale, welche in aufge- 

 hen; ihre Grade wollen wir mit f^^-f^ ■ • 'f„^ bezeichnen, so dass z. B. 

 iV'(p^) = p-^i ist. Existirt nun eine ganze Zahl ö in i2 , deren Index k 

 nicht durch p theilbar ist, so folgt aus dem Satze I in §. 2, dass es in 

 Bezug auf den Modul p auch m incongruente Primfunctionen P^, . . » 



giebt, deren Grade resp. gleich fi,fo • • • sind. Es ist nun von 

 der grössten Wichtigkeit für unsere Untersuchung, dass diese Folgerung 

 sich umkehren lässt, dass also folgender Satz besteht ; 



IV Sind fi,/^-- • /„j Grade der sämmtlichen verschiedenen, in 

 der Primzahl p aufgehenden Primideale p^, p., . . • » und giebt es m nach 

 dem Modul p incongruente Primfunctionen P^, P^ . . . P^^ resp. vom Grade 

 fi fi-'' existirt in Si eine ganze Zahl Q, deren Index k nicht durch 



p theilbar ist. 



Dem Beweise dieses Satzes schicken wir aber zunächst einige Be- 

 trachtungen voraus, welche zum Theil von den Voraussetzungen desselben 

 unabhängig sind 



Es sei p irgend ein in p aufgehendes Primideal vom Grade f, so 

 genügen (D. §. 163; B. §. 26, 3") alle ganzen Zahlen uj des Körpers i2 

 der Congruenz 



(oP^ — to = 0 (mod. p); 

 bedeutet nun t wieder eine Variabele, so ist die Function 



tP'~t 



nach dem Modul p congruent dem Producte aus allen incongruenten 

 Primfunctionen, deren Grade Divisoren der Zahl /sind [C. 19.); unter 



