THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRUENZEN. 



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fp{t) = P{t)ip[t) (mod. p) 



ist, so folgt auch 



<fi{ci) = P[c()ifj{ci) (mod. jö), 



und da die beiden Zahlen p undP(«) durch |) theilbar sind, so ist auch 

 y (ßf) = 0 (mod. p) ; ist aber zweitens (p [t) nicht theilbar durch die Prim- 

 function P[t), so sind (p[t) und P[f) relative Primfunctionen , und folg- 

 lich existiren zwei Functionen (f> j_[t), (^^{t) , welche der Congruenz 



y,{t)^^{t)-{-P{t)^,_{t) = l (mod. p) 



genügen (C. 5.); dann ist auch 



g){a)^^{cc)-\-P{a)(p2{a) = l (mod. jo), 



und da p und P(c^) durch p theilbar sind, so ist 



y(«)y^(«)=l (mod. p), 



und folglich ist in diesem Falle ^(«) nicht = 0 (mod. p). Hiermit ist 

 unsere obige Behauptung vollständig bewiesen. 



Für den Fall, dass durch theilbar ist, wollen wir ferner die 

 Wurzel a der Congruenz P{cc) = 0 (mod. p) so wählen, dass die Zahl 

 P{c!) nicht durch p^ theilbar wird. Dies ist stets möglich; ist nämlich a 

 eine Wurzel der Congruenz P(«)=0 (mod. p-), so wähle man nach Be- 

 lieben eine durch aber nicht durch p^ theilbare Zahl Ä, und setze 

 a = cc-\-^, so ist 



P(ß') = p(«) + ip'(c,) + ;j 2 p"(«) 

 . ^P'{a) (mod. p^); 



da nun die derivirte Function P'{t) den Grad (/ — 1) hat und nicht = 0 

 (mod. p) ist, so kann sie auch nicht = 0 (modd. jo, P) sein, und folglich 

 ist nach dem Obigen die Zahl P'(fö) nicht theilbar durch p; mithin ist 

 das Product /iP'{a), und folglich auch die Zahl P(a') wohl theilbar durch 

 p, aber nicht theilbar durch p^. Nachdem so die Existenz einer solchen 

 Zahl a bewiesen ist, lassen wir den Accent wieder weg, und nehmen 

 also an, dass P{a) durch p, aber nicht durch theilbar ist. 

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