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Ist nun die höchste in p aufgehende Potenz des Primideals 

 so wollen wir beweisen, dass die Zahlen-Congruenz 



(p{a)=0 (mod. p^) 



mit der Functionen-Congruenz 



^{t) = 0 (modd. p, P") 



gleichbedeutend ist. In der That, wenn die letztere Statt findet, so ist 



y>{t)=P{tYf{t) (mod. p), 



also auch 



(f [et] = P [a)" ip {a) (mod. jd), 



und da beide Zahlen p und P{ay durch p*^ theilbar sind, so folgt y(oj) 

 = 0 (mod. p^); wenn dagegen die Functionen-Congruenz nicht Statt fin- 

 det, so ist der grösste gemeinschaftliche Theiler, welchen die Functionen 

 q){t) und P{tY nach dem Modul p haben, von der Form P wo s<^e; 

 bestimmt man die Functionen ^i{t), <p^[t) so, dass 



y{t)v,{t) + P{tr<p^{t) = P{ty (mod. p) 



wird {C. 4.), und bedenkt, dass p und P{ccY durch p" theilbar sind, so 

 ergiebt sich 



q>[cc)(p^[a) = P{aY (mod. p^)\ 



da nun s<^e, und P{cc) nicht durch p"^ theilbar ist, so ist P[af nicht 

 theilbar durch p^ , und folglich ist auch (p [a) nicht = 0 (mod. p^). Un- 

 sere Behauptung ist daher erwiesen. 



Man verfahre nun mit jedem der in p aufgehenden verschiedenen 

 Primideale p^, p^ . . . p^ so , wie es im Vorhergehenden beschrieben ist, 

 d. h. man wähle nach Belieben m Primfunctionen P, , P„ . . . P , welche 

 resp. dieselben Grade /i,/2 • * •/», haben, wie jene Primideale, und be- 

 stimme ebenso viele Zahlen cj^, . . . cc^^ der Art, dass P^[ci^), P^[a^) 

 . . . P^[a^ resp. durch p^, p^ . . .p^ theilbar werden, mit der eventuel- 

 len Beschränkung, dass eine solche Zahl P^(«^) nicht durch p^ theilbar 

 sein darf, falls p durch theilbar ist. Da nun die Primideale p-^^, p^ 



