m 



28 R. DEDEKIND, 



durch p theilbar ist , wenn sie durch jede der m Potenzen ^j', ^''^ . . . p 

 theilbar ist, so leuchtet ein , dass die eine Zahlen-Congruenz 



y (Ö) = 0 (med. p) 



gleichbedeutend ist mit dem Sj/stem der m vorstehenden Functionen-Con- 

 gruenzen. 



Bis hierher haben wir absichtlich über die Wahl der Primfunctionen 

 P P„ . . . P nichts Anderes festgesetzt, als dass ihre Grade resp. mit 



1' 2 OT " ^ 



denen der Primideale p^, * • • '^m übereinstimmen sollen, und es war 

 z. B. , falls fi= /a' laicht ausgeschlossen, = zu wählen. Wir 

 Avollen jetzt die besondere Annahme unseres Satzes hinzufügen, welche 

 darin besteht, dass es m unter einander incongruente Primfunctionen von 

 den vorgeschriebenen Graden gieht, und wir wollen unter P^, P^ . . . P^ 

 solche incongruente Primfunctionen verstehen. Dann sind die Potenzen 

 pßi p^m relative Primfunctionen, und wenn man ihr Product 



1 ' 2 m 



P'^Pl' . . . P"'" = 

 12 m 



setzt, so ist (0. 5.) das System der ni obigen Functionen -Congruenzen, 

 und folglich auch die eine Zahlen-Congruenz 



(p[d] = 0 (mod, p) 

 gleichbedeutend mit der einzigen Functionen -Congruenz 



y){t)=0 (modd. p, R). 

 Da ferner der Grad des Productes R gleich 



«1/1+^2/2 + - • • + 



und folglich = n ist, so kann eine Zahl 



nur dann durch p theilbar sein, wenn 



(p{t] = 0 (mod. p), 



d.h. wenn alle w CoefRcienten x x^, x^ . . . x^_^ durch p theilbar sind. 

 Der Index k der Zahl d ist folglich (nach §. 1) nicht theilbar durch p. 



