THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRUENZEN. 29 



Hiermit ist unser obiger Satz bewiesen , und wir fügen nur noch die 

 folgende Bemerkung hinzu. 



Da k nicht theilbar durch p ist , so ist k auch von 0 verschieden, 

 und folglich ist die gefundene Zahl ö die Wurzel einer irreductibelen 

 Gleichung F% ~ 0 vom wten Grade; da nun F{9) = 0 (mod. p), so 

 muss die Function F durch R theilbar sein nach dem Modul p\ da 

 ferner beide Functionen denselben Grad n und denselben höchsten Coef- 

 hcienten 1 haben , so muss F = R (mod. ja) , d. h. 



F= P\'P\^ . . .P"^'^ (mod. j.) 



sein , und hiermit sind wir zum Ausgangspuncte unserer Untersuchung 

 in §. 2 zurückgekehrt. 



§• 5- 



Die letzte Untersuchung hat uns ein Kriterium geliefert, durch 

 welches die Frage entschieden wird, ob es wirklich in i2 eine ganze 

 Zahl ö giebt, deren Index durch eine gegebene Primzahl p nicht theilbar 

 ist. Wenn 



= pl' • • • C 



ist, wo ^j, • • • Pm verschiedene Primideale resp. von den Graden y^, 

 . . . f^^^ bedeuten, so wird der singulare Fall, dass die Indices aller in 

 i2 enthaltenen ganzen Zahlen durch p theilbar sind , jedesmal und nur 

 dann eintreten, wenn es unmöglich ist, m nach dem Modul p incongru- 

 ente Primfunctionen von den Graden /\, . . . f^^ aufzustellen. Es 

 fragt sich daher nur noch, ob diese Erscheinung, dass nicht genug Prim- 

 functionen existiren , wirklich jemals auftreten kann. Um hierüber zu 

 entscheiden, wollen wir den denkbar einfachsten Versuch anstellen. Die 

 incongruenten Primfunctionen ersten Grades sind die folgenden 



t, t-^ 1, t-\-2 . . . t-\-(p — l), 



ihre Anzahl ist — p; der obige singulare Fall wird daher gewiss in ei- 

 nem Körper i2 eintreten , in welchem die Primzahl p durch mindestens 

 verschiedene Primideale ersten Grades theilbar ist; da aber, wie 



