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und da diese Zahl durch kein Quadrat (ausser 1) theilbar ist, so ist sie 

 die Grundzahl D unseres eubischen Körpers i2, und die Zahlen 1, «, ß 

 bilden eine Basis des aus allen ganzen Zahlen co dieses Körpers £i be- 

 stehenden Gebietes o, d. h. nach der schon mehrfach gebrauchten Be- 

 zeichnung, es ist 



0 = [1, ci, ß]; 



jede solche ganze Zahl, d. h. jede in o enthaltene Zahl w ist von der Form 



CO = z-{-jecc-{-yß, 



wo z, X, y willkürliche ganze rationale Zahlen bedeuten. 



Wir wollen nun auf Grund dieses Resultates die Idealfactoren der 

 Zahl 2 bestimmen. Da 



«2 = 2-j-a4-2/5 = f4 



, (mod. 2), 



so folgt allgemein 



{z^xa^yßY^z'^-\-x'^a^^y^ß'^ = z-\-xa-{-yß (mod. 2), 



d. h. jede Zahl to des Gebietes o genügt der Congruenz 



0)2 — CO = 0 (mod. 2). 



Hieraus folgt zunächst, dass die Zahl 2 durch kein Quadrat eines Prim- 

 ideals theilbar sein kann; wäre nämlich o(2) = p^q, wo p ein Primideal 

 oder wenigstens ein von o verschiedenes Ideal bedeutet, so würde, da 

 p q nicht durch o (2) theilbar ist , eine Zahl tw existiren , welche durch 

 pq, aber nicht durch 2 theilbar wäre; dann wäre aber to^ theilbar durch 

 q^ , also auch durch 2 , und dies widerspricht der vorstehenden Con- 

 gruenz 03^ = 0) (mod. 2). Mithin ist o (2) entweder ein Primideal oder 

 ein Product aus lauter verschiedenen Primidealen, Es sei p irgend ein 

 in 2 aufgehendes Primideal , so genügt jede in o enthaltene Zahl co der 

 Congruenz 



cü^ — CO = 0 (mod. p), 



und folglich ist die Anzahl ihrer incongruenten Wurzeln = (o, |)) = iV(p); 

 da diese Anzahl aber niemals grösser als der Grad der Congruenz sein 



