THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRÜENZEN. 



33 



kann, so ergiebt sich iV(p)<2, und folglich N{p) = 2, weil p ein Prim- 

 ideal , also von o verschieden , mithin N(p) ^ 1 ist. Jedes in 2 aufge- 

 hende Primideal ist daher vom ersten Grade, und folglich muss, da 

 iVr(2) = 2^ = 8 ist. 



0(2) = obc 



sein, wo o, 6, c drei von einander verschiedene Primideale ersten Grades 

 bedeuten. Hiermit ist das Auftreten der erwähnten singulären Erschei- 

 nung erwiesen , und es muss sich bestätigen, dass die Indices aller Zah- 

 len CO durch 2 theilbar sind. In der That, setzt man 



X = -f- 2y'^ -\-2xz 

 y = 2^^— /-j-2y^. 



so ist 



und der Index der Zahl tw ist gleich der Determinante 

 1, 0, 0 



z, X, y = xy — yx — 2x^ — x^y — xy^ — 2y^, 



I I I 

 z, X, y 



welche offenbar stets eine gerade Zahl ist. 



Um unser Beispiel ganz zu vollenden, und um die aus der allge- 

 meinen Theorie geschöpften Voraussagungen auch durch die Rechnmig zu 

 bestätigen, wollen wir endlich zur Darstellung der hier auftretenden Ideale 

 in Form von endlichen, dreigliedrigen Moduln (D. §. 161; B. §. 3), d. h. 

 zur Bestimmung dieser Ideale durch ihre Basiszahlen schreiten. Diese 

 Darstellungen sind die folgenden: 



a = [2, a, 1 + /?] 

 b = [2, 1+«, ß] 



c = [2, ß\ 



Das System a aller Zahlen von der Form 



a' = 2z-{-ax-\-{l + ß)y, 

 MatJiem. Classe. XXIII. 1. E 



