34 



K. DEDEKIND, 



■wo X, y willkürliche ganze rationale Zahlen bedeuten, besitzt in der 

 That die beiden fundamentalen Eigenschaften eines Ideals, nämlich: 



I. Die Summen und Differenzen von je zwei Zahlen d des Systems 

 a gehören demselben System a an. 



II. Jedes Product aus einer Zahl «' des Systems a und aus einer 

 Zahl CO des Gebietes o ist wieder eine Zahl des Systems q. 



Die erste Eigenschaft ist evident, und um die zweite nachzuweisen, 

 genügt es darzuthun, dass die Producte aus je einer der Basiszahlen 

 2, «, (l-h/J) von a und je einer der Basiszahlen 1, «, /S von o sämmt- 

 lich in a enthalten sind ; dies ist unmittelbar evident für die fünf Producte 



und für die übrigen vier ergiebt sich dasselbe aus den Gleichungen 



Ebenso wird bewiesen, dass die Systeme b und c Ideale sind. 



Die Norm iV(m) eines Ideals m ist die Anzahl (o, m) der in o ent- 

 haltenen, nach m incongruenten Zahlen (Z). §. 163; B. §.20), und diese 

 Anzahl ist gleich der Determinante der Ausdrücke, welche in Bezug auf 

 die Basiszahlen von o linear sind und die Basiszahlen von m darstellen 



Wenn aber die Norm eines Ideals eine Primzahl ist, so muss das Ideal 

 nothwendig ein Primideal sein, weil allgemein — N{(x^N[Qi^ 



ist; mithin sind o, 6, c Primideale. Sie sind ferner verschieden von ein- 

 ander, weil die in B und in c enthaltene Zahl ß nicht in o enthalten, 

 und weil die in c enthaltene Zahl a nicht in 6 enthalten ist. Es muss 

 folglich die in allen drei Idealen enthaltene Zahl 2 auch in dem Pro- 



2.1, «.1. (l + iS).l, 2.«, 2.^ 



= -2 + 2(1+/?), 



a.a = « + 2(1 + /?), cc.ß = 2.2, 

 (1 + /5)« = 2.2 + «. {l + ß)ß = —2 + 2«. 



