THEORIE DER IDEALE UND DER HÖHEREN CONGRUENZEN. 35 



ducte abc enthalten sein; mithin ist o(2) = tnaBc, wo m ein Ideal be- 

 deutet; nimmt man aber die Norm, so ergiebt sich 



N[2) = 8 = N{m)N{a)N{h)N{c) = 8iV(in); 



mithin ist iV(m) = 1, also m = o, und o(2) = aBc. Aber auch dieses, 

 aus allgemeinen Sätzen geschlossene Resultat wollen wir durch die ei- 

 gentliche Rechnung, d. h. durch die wirkliche Ausführung der Multipli- 

 cation der Ideale bestätigen (D. §. 165; B. §. 12). 



Unter dem Producte ab zweier Ideale wird das System aller Pro- 

 ducte aß' und aller Summen von solchen Producten aß' verstanden, wo 

 ß' beliebige Zahlen resp, der Ideale a, b bedeuten (Z). §. 163; B. §. 

 22). Ein solches Product erscheint daher zunächst als ein endlicher 

 Modul, dessen Basiszahlen die sämmtlichen Producte aus je einer Basis- 

 zahl von a und je einer Basiszahl von b sind. In unserem Falle ist da- 

 her ab der endliche Modul , dessen Basiszahlen die neun Producte 



2.2 = 4, 2(1 + «) = 2 + 2«, 2.ß = 2ß, 

 a.2 = 2a, «(! + «) = 2-\-2a-{-2ß, «/? = 4, 

 (l + ^).2 = 2 + 2/?, (1 + /?)(1 + «) = 5+« + ^, {l-^ß)ß = —2+2a 



sind; da aber von diesen neun Zahlen nur drei von einander unabhängig 

 sind (D. §. 159; B. §. 4), so ist die von mir ausführlich beschriebene 

 Methode [B. §. 4, 6") anzuwenden , um diesen neungliedrigen Modul auf 

 einen dreigliedrigen zurückzuführen; durch die Ausführung dieser sehr 

 einfachen und leichten Rechnung erhält man die eine der sechs folgenden 

 Gleichungen : 



a' [4, «, 3 + /S]; bc = [2, 2a, ß] 



9 = [4, 1 + «, ß]; CO = [2, a, 2 ß] 



= [4, 2 + «, 2+/?]; ab = [2, 2«, 1 + «+/»]. 



Die übrigen ergeben sich auf dieselbe Weise; und wenn man abermals 

 nach derselben Methode mit a, b, c multiplicirt , so erhält man folgende 

 zehn Hauptideale: 



