UNTERSUCHUNGEN ÜBER D. FLÄCHEN MIT PLÄNEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 3 



noch, dass im „Journ. de Math/' (Annee 1848) T. XIII| p. 73—79 

 ,, Demonstration geometrique de quelques theoreraes a la theorie des sur- 

 faces" Hr. Bertrand die Flächen von Monge einer rein geometri- 

 schen Betrachtung unterworfen hat. 



Der oben erwähnte Satz von Joachimsthal lässt sich als spe- 

 cieller Fall eines allgemeinern Satzes auffassen, den Hr. Bonnet im 

 , .Journal de l'Ecole Polytechnique" Cahier 32, Tome XIX (Paris 1848) 

 auf p. 1 7 angemerkt hat : Schneiden sich zwei Flächen längs einer 

 Curve unter einem constanten Winkel, ist die Curve eine Krümmungs- 

 linie der einen Fläche, so ist sie auch eine Krümmungslinie für die an- 

 dere Fläche. Man findet diesen Satz unter N. 27 5 auf p, 215 angeführt 

 in: ,,A treatise on the analytic geometry of three dimensions" by G. 

 Salmon (London 1862). Die dort gegebene Beweisführung gestattet 

 unmittelbar eine leichte Variation des Satzes von Hn. Bonn et. Schnei- 

 den sich zwei Flächen gegenseitig in einer Krümmungslinie, so schliessen 

 die Normalen zu beiden Flächen in einem Punkte der Schnittcurve einen 

 constanten Winkel ein. Da in einer Ebene und auf einer Kugelfläche 

 jede Curve als Krümmungslinie angesehn werden kann , so erhält man 

 aus der vorhergehenden Bemerkung unmittelbar den Satz von Joachims- 

 thal, sowie sein Analogon für sphärische Krümmungslinien. 



Die vereinzelten Besultate von Monge und Joachimsthal über 

 plane Krümmungslinien scheinen den Anstoss zu allgemeinen Unter- 

 suchungen gegeben zu haben, welche Hr. Bonnet 1853 der Pariser 

 Academie mittheilte*). Diese Untersuchungen hat der ausgezeichnete 



*) Die Mittheilungen von Hn. Bonnet sind in den »Comptes-Rendus« ent- 

 halten, nämlich: T. 36 (1853) 



»Sur les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes.« (p. 81 — 84). 

 »Memoire sur les surfaces dont les lignes de courbure de Fun des systemes 



sont planes.« (219—222). 

 »Memoire sur les surfaces ä lignes de courbure spheriques.« (291 — 294). 

 »Deuxieme note sur les surfaces ä lignes de courbure spheriques.« (389—391). 

 »Troisieme note sur les surfaces ä lignes de courbure planes ou spheriques.« 

 (585—587). 



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