UNTERSUCHUNGEN ÜBER D. FLÄCHEN MIT PLANEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 7 



I. 



Zusammenstellung einiger Formeln ans der Theorie der Curven 



doi^p elter Krümmung. 



Die Untersuchung von Curven auf krummen Flächen gewinnt an 

 Einfachheit und methodischer Uebersicht, wenn die Elemente in Be- 

 tracht gezogen werden/ welche bei der allgemeinen Betrachtung der 

 Curven doppelter Krümmung in den V^ordergrund treten. Sowohl, was 

 die Anwendung der allgemeinen Principien auf Krümmungslinien be- 

 triift, wie die Bezeichnungen, welche im Folgenden festgehalten werden 

 sollen , lassen es zweckmässig erscheinen , ein kurze Zusammenstellung 

 der Formeln zu geben , welche bei den späteren Untersuchungen zur 

 Verwendung kommen. 



Es seien |, tj, t die orthogonalen Coordinaten eines Punktes II einer 

 Curve doppelter Krümmung. Bezeichnet man durch ds das Bogenele- 

 ment der Curve, so ist: 



1) ds^= dV + dn'--\-dt\ 



Es werden ^, j;, t als Funktionen einer Variabein angesehn, in Be- 

 ziehung auf welche die nachfolgenden DifFerentialformeln gelten. Mit- 

 telst der Gleichung 1) kann man die in Eede stehende Variabele sich 

 durch s ausgedrückt denken , so dass ^, ri, t von s abhängig sind. Im 

 Punkte n existiren bekanntlich drei gegenseitig zu einander orthogonale 

 Kichtungen, die Tangente, die Hauptnormale und die, von Saint-Venant 

 benannte, Binormale. In Beziehung auf ein festes orthogonales Coordi- 

 natensystem , sei die Tangente durch die Winkel cc, ß, y; die Hauptnor- 

 male durch die Winkel ^, /u, v; endlich die Binormale durch die Win- 

 kel l, m, n bestimmt. Es sei ds der Contingenzwinkel, d.i. der Winkel, 

 welchen zwei successive Normalebenen der Curve einschliessen , durch 

 do) werde der Torsionswinkel der Curve bezeichnet, d. i. der Winkel, 

 den zwei successive osculatorische Ebenen bilden. Diesen Winkeln ent- 



