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R constant. Die Bedingung eines constanten Kadius R ist allein hin- 

 reichend , da , in Folge davon , dann auch »j*, constant sind, wie 

 unmittelbar durch Differentiation folgt. 



II. 



Fundamentale Gleichungen für Krümmungslinien auf Flächen. 



Auf einer Fläche lässt sich die Lage eines Punktes mittelst zweier 

 Curvensysteme bestimmen, welche Systeme selbst auf der Fläche liegen. 

 Es geschieht dieses bekanntlich analytisch dadurch, dass die Coordinaten 

 cc, y, z des Punktes als Functionen zweier Variabein u und v angesehn 

 werden. Das Coordinatensystem auf der Fläche, welches bei der vor- 

 liegenden Untersuchung in Betracht kommt , besteht aus den Krüm- 

 mungslinien und ist analytisch durch die beiden folgenden Gleichungen 

 definirt : 



d^x d'^y d^z 

 dudv dudv dudv 



dx dy dz ^ 



du ' du ' du 

 d X dy d z 

 dv ' dv ' dv 



Des besseren Verständnisses halber sollen einige fundamentale Glei- 

 chungen aus der Theorie der Flächen , soweit sich dieselben auf Krüm- 

 mungslinien beziehn, angemerkt werden. Hierzu sind noch einige Glei- 

 chungen hinzugefügt, welche Anwendungen der in I enthaltenen Formeln 

 auf Krümmungslinien enthalten. Es sind so analytisch-geometrische Ma- 

 terialien vereinigt, welche bei andern Untersuchungen über Krümmungs- 

 linien von Nutzen sein können. Giebt man v einen bestimmten Werth 

 und lässt u allein variiren , so entspricht dieser Annahme eine Krüm- 

 mungslinie, welche der Einfachheit halber die Krümmungslinie [u) ge- 



dxdx dydy^ dzdz 

 dudv dudv dudv 



