UNTERSUCHUNGEN ÜBER D.FLÄCHEN MIT PLANEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 19 



Mittelst der Gleichung 3), der Gleichungen II 5) und II 8) ergiebt 

 sich leicht, dass die linken Seiten der Gleichungen 2) von v unabhän- 

 gig sind, also nur u enthalten können. 



In dem Fall , dass die Krümmungslinie plan ist , hat man in der 

 Gleichung 28) von II = oo zu nehmen, es ist dann r"H^ von v 

 unabhängig. Man nehme 



5} r"H^ = — cotff, 



wo G nur von u abhängt. Die Gleichungen II 27) lassen sich mittelst 

 der Gleichung 5), wenn aus II 25) der Werth von substituirt wird, 

 auf folgende zweckmässige Formen bringen: 



( cos ^2 = cos a cos (J — cosa'sinty, 



6) ! cosm^ = cos&cosa — cos 6' sin (7, 

 [cosn^ = cosccosö — cosc'sina. 



Setzt man in der Gleichung 5) für wieder seinen Werth aus 

 II 23), so ist: 



r" d\l~G 



7) — — ' — = — cotö-, 



\IeG du 



oder auch: 



r'r" r" 



S) d — ^= — cotff. 



yEG du 



Die Gleichungen 7) und 8) folgen auch direct aus den Gleichungen 

 3) und 4), wenn = oo genommen wird. Aus den Gleichungen 2) 

 und 6) fiiessen unmittelbar die am Eingang von III bemerkten Theoreme. 



Für die Krümmungslinie {u] ergeben sich leicht ganz analoge Be- 

 dingungen wie die vorhergehenden, wenn die Curve sphärisch oder plan 

 sein soll. Es seien r, »j*, t\, nur von v abhängig. Ist 



die Krümmungslinie [u] sphärisch, so finden folgende Gleichungen statt: 



C2 



